مشتق تابع های مثلثاتی معکوس

مشتق تابع های مثلثاتی معکوس: انتگرال های مربوط

در این مقاله فرمول های متداول مشتقات توابع مثلثاتی معکوس را درجدول زیر عرضه می کنیم و نشان می دهیم که چگونه به دست می آیند،و درباره فرمول های انتگرال های نظیر بحث می کنیم. خواهیم دید که محدودیت هایی که دامنه های توابع مثلثاتی معکوس دارند، به طور طبیعی، محدودیت هایی برای دامنه مشتقات نیز هستند.

مثال1 الف)

برای اینکه نشان دهیم چگونه فرمول های مشتق های فوق به دست می آیند، فرمول های 1و 5 جدول را اثبات می کنیم.

مشتقy=sin-1u

می دانیم که تابع در بازه باز مشتق پذیر است و مشتقش، کسینوس،در این بازه مثبت است. بنابراین قاعده 11 درمقاله قبلبه ما این اظمینان را می دهد که تابع معکوس ،در سراسر بازه مشتق پذیر است. با وجود این نمی توانیم انتظار داشته باشیم که این تابع در مشتق پذیر باشد،زیرا در این نقاط خط های مماس بر نمودار، قائم اند.

برای محاسبه مشتق ، از دو طرف رابطه نسبت به مشتق می گیریم

حال دو طرف را بر (که برای مثبت است) تقسیم می کنیم

مشتق نسبت به عبارت است از

اگرu تابع مشتق پذیری ازx باشد، قاعده زنجیری را به صورت

در مورد به کار می بندیم و نتیجه می گیریم که

مشتق

ابتدا از دو طرف رابطه نسبت به مشتق می گیریم

برای بیان نتیجه حاصل بر حسب ، از روابط زیر استفاده می کنیم

پس

با علامت چه بکنیم؟ نگاهی به شکل زیر نشان می دهد که شیب نمودار همیشه مثبت است.

پس

با استفاده از قدر مطلق، معادله (6) به صورت تک معادله زیر در می آید

حال از قاعده زنجیری استفاده می کنیم و نتیجه می گیریم

که در آن تابع مشتق پذیری از است.

فرمول های انتگرال گیری

ممکن است انتظار داشته باشید که از شش فرمولمشتق در جدوا فوق شش فرمول انتگرال گیری جدید به دست آید؛ اما تنها سه تای آن ها مهم اند.

انتگرال هایی که توابع مثلثاتی معکوس منجر می شوند

سه تای دیگر مطلب تازه ای در بر ندارند

مثال2 مطلوب است محاسبه

الف) و

ب)

حل: الف)

اگر فورا نمی توانید را به ازای حدودانتگرال گیری محاسبه کنید، مثلث هایی شبیه شکل زیر رسم کنید.

مثال3 مطلوب است محاسبه

حل: شباهت بین انتگرال مفروض و صورت متداول

جانشانی

را به ذهن القا می کند. به این ترتیب

مثال4 مطلوب است محاسبه

حل: این همانانتگرال آرک سینوس است که در آن، 9 جای 1 را گرفته است. برای اینکه به جای 9، 1 قرار گیرد، از ، از 9 فاکتور می گیریم و آن را پس از جذر گرفتن به بیرون رادیکال منتقل می کنیم

توجه کنید که به جای نوشته ایم . لذا

حال جانشانی های

را به کار می گیریم. بنابراین

لگاریتم طبیعی و مشتق آن

لگاریتم طبیعی یک عدد مثبت که با نمایش داده می شود، بنا به تعریف، مقدار انتگرال تابع است.

تعریف لگاریتم طبیعی

به ازای هر بزرگتر از 1، این انتگرال مساحت ناحیه ای را نشان می دهد که از بالا به خم ، از پایین به محور ، از طرف چپ به خط ، و از طرف راست به خط محدود است.

اگر ، مرزهای چپ و راست ناحیه بر هم منطبق می شوند، و لذامساخت صفر است

اگر کوچکتراز یک باشد، آنگاه مرز چپ، خط و مرز راست، است. در این حالت

برابر است با منهایمساحت زیر خم بین . مقدارانتگرال معین در (2) را می توانیم به کمک قاعده سیمپسون تا هر چند رقم اعشاری که بخواهیم بدست آوریم.

چون تابع با انتگرال

تعریف می شود، فورا از نخستینقضیه اساسی دیفرانسیل و انتگرال نتیجه می شود که

اگر تابع مشتق پذیری از باشد، آنگاه از قاعده زنجیری

فرمول کلی تر زیر به دست می آید

مثال1 اگر را بیابید

حل:

انتگرال

فرمول انتگرال

شامل نمی شود، زیرا مشتق هیچ توانی از نیست. حال در موقعیتی قرار داریم که به حالت استثنا بپردازیم، زیرا معادله(6) فورا به معادله

منجر می شود، با این شرط که مثبت باشد. اما اگر منفی باشد، آنگاه مثبت است و

دو نتیجه (7 الف) و (7 ب) را می توان در یک نتیجه واحد به صورت زیر تلفیق کرد.

اگر علامت در دامنه مفروضش تغییر نکند، آنگاه یک مقدار ثابت انتگرال گیری کافی است، و ازفرمول زیر می توان استفاده کرد.

در کاربردها باید به خاطر داشت که دراینجا تابع می تواند هر تابع مشتق پذیر باشد. معادله(9) حاکی است که انتگرال هایی با یک صورت خاص، به لگاریتم منجر می شوند. یعنی اگر تابع مشتق پذیری باشد که بر دامنه مفروضش تغییر علامت ندهد، آنگاه

مثال2 مطلوب است محاسبه

حل: اینانتگرالبه صورت

است که در آن+ . تابع تغییر علامت نمی دهد(همیشه مثبت است). بنابراین معادله(10) را می توان به کار برد، و

چون مثبت است، بدون قدرمطلق هم کار انجام می شود.

مثال3 مطلوب است محاسبه

حل: از جانشانی زیر استفاده می کنیم

داریم

تابع نمایی

معکوس تابع موارد استفاده زیادی درریاضیات و کاربردهایش دارد.

عدد

چون از 1 کمتر و از 1 بیشتر است، طبققضیه مقدار میانگینعددی بین 2و 4 وجود دارد که لگاریتمش برابر 1 است. چون یک به یک است، این عدد یکتاست، و با حرف نمایش داده می شد.

اگر در شکل زیر خط کشی در امتداد خط قرار دهید، می بینید که بین 2.5 و 3 واقع می شود.

مقدار آن تا 15 عدد اعشار عبارت است از

تابع

وقتی یک عدد گویا باشد، می توانیم را همان گونه تعریف کنیم که توان های گویای هر عدد مثبت دیگری را تعریف می کنیم. برای این توان های داریم

پس وقتی گویا باشد، عددی است که لگاریتم طبیعی آن است. با استفاده ازنمادها داریم

رابطه (4) حاکی است که توابع ، وقتی گویا باشد، یکسان اند. این مطلب کلید تعریف برای سایر مقادیر است. هرچند تا اینجا را فقط برای مقادیر گویای تعریف کرده ایم ولی تابع برا ی همه مقادیر اعم از گویا و گنگ تعریف می شود. بنابراین می توانیم برای تعریف به ازای مقادیری از که در مورد آن ها اینجا قبلا تعریف نشده است از فرمول اینجا استفاده کنیم. در واقع اگر بخواهیم تابع حاصل پیوسته باشد، هیچ راه دیگری برای تعریف وجود ندارد. پس ناچار به ازای همه . بنابراین اگر و تنها اگر.

تعریف تابع به ازای هر عدد حقیقی

تابع را اغلب تابع نمایی با پایه و نمای می نامند. نماد دیگری برای است که «اکسپوتانسیل » خوانده می شود. نمودار را می توان را با پیدا کردن قرینه نسبت به خط شکل زیر به دست آورد.

نمودارهمان نموداراست. این نمودار محور را در قطع می کند، یعنی

و نیز

معادلات شامل

چون معکوس یکدیگرند،

مثال 1 را بیابید.

الف)

حل :

رابطه را نمایی می کنیم:

ب)

حل: ازدو طرف لگاریتم می گیریم:

حل:

دو قاعده عملی مفید

برای حذف لگاریتم از یک رابطه، دو طرف را نمایی کنید. برای حذف پایه های از دو طرف لگاریتم بگیرید.

قانون نماها

هر چند با روشی به ظاهر تصادفی معکوس لگاریتم تعریف شد، ولی از قوانین آشنای نماها در جبر تبعیت می کند

مثال2ساده کنید

الف)

ب)

حل:

الف) ( از رابطه 10)

(تعریف و یکی از ویژگی های لگاریتم)

ب) ( از رابطه 10)

( از رابطه 11)

(تعریف )

مشتق و انتگرال

تابع مشتق پذیر است، زیرا معکوس تابع مشتق پذیری است که مشتق آن هرگز صفر نمی شود، برای محاسبهمشتق

از دو طرف لگاریتم می گیریم

و مشتق ضمنی نسبت به به دست می آوریم

چون ، از اینجا نتیجه می گیریم که

و این به نوبه خود به فرمولانتگرال گیری زیر منجر می شود

مثال3

حل: ازجانشانیهای زیر استفاده می کنیم

لذا

تابع هایآهنگ های رشد

با رابطه زیر بحث در مورد آهنگ های رشد تابع های لگاریتمی را آغاز می کنیم.

این مطلب به ما امکان داد که با رابطه

را تعریف کنیم. سپس مطابق قاعده زیر را به ازای هر عدد مثبت تعریف کردیم

حال در آخرین گام لگاریتم در پایه را به صورت زیر تعریف می کنیم

لگاریتم در پایه

می دانیم که اگر عدد مقبتی بجز 1 باشد، تابع مشتق پذیر و یک به یک است. علاوه براینمشتق آن ، هرگزصفر نمی شود. پس این تابع یک معکوس مشتق پذیر دارد، و ما آن را لگاریتم در پایه می نامیم و با

نمایش می دهیم. چون معکوس یکدیگراند، ترکیب آن ها به هر ترتیبی، تابع همانی است. پس روابط زیر به دست می آیند

(2 الف) به ازای تمام ها ،

(2 ب) به ازای هر مثبت ،

رابطه (2 ب) حاکی است که لگاریتم در پایه نمایی است که باید به توان آن برسد تا به دست آید. مثلا

در هر حالت، لگاریتم نمایی است که پایه باید به توان آن برسد تا به دست آید. در تساوی

2پایه است و2- لگاریتم 4/1 در پایه 2، نمایی است که 2 باید به توان آن برسد تا 4/1به دست آید. شکل زیر نمودارهای توابع را نشان می دهد.

محاسبه

عدد را همیشه می توان به کمک فرمول زیر از لگاریتم های طبیعی به دست اورد

این فرمول را می توان با روش زیر استنتاج کرد. اگر

آنگاه

پس

که همان رابطه (3) است.

مثال1 از رابطه (3) داریم

مثال2 را محاسبه کنید.

حل: از رابطه (3) داریم

قواعد محاسبه

اگر رابطه (3) را با سه قاعده

که برای اعداد حقیقی مثبت ( برحسب به جای به دست آمد، تلفیق کنیم ، داریم

مثلا تساوی (5 پ) با روش زیر به دست می آید

مشتق

اگر تابع مثبت مشتق پذیری از باشد، می توانیم از دو طرف

مشتقبگیریم و

را به دست آوریم. بطورخلاصه

مثال3مشتق را محاسبه کنید.

حل: از رابطه (6) به ازای داریم

مثال4 مطلوب است

حل: را بر حسب بیان می کنیم

پس

آهنگ های نسبی رشد

ممکن است توجه کرده باشید که توابع نمایی نظیر

وقتی بزرگ می شود، خیلی سریع تر از چند جمله های ها و توابع گویا رشد می کنند. این توابع نمایی مسلما خیلی سریع تر از تابع رشد می کنند. تجسم کنید که نمودار تابع را بر یک تخته سیاه بزرگ رسم می کنید، و واحد مقیاس محورها هم سانتیمتر است. در ، ارتفاع نمودار نسبت به محور است.

در ، ارتفاع نمودار، است. در ، ارتفاع نمودار برابر است با ، یعنی بلندتر از بیشتر ساختمان های موجود است. در ، نمودار از نیمه راه ماه هم می گذرد، و به ازای ، نمودار به اندازه ای ارتفاع دارد که از نزدیک ترین ستاره همسایه یعنی از پروکسیماسنچوری هم می گذرد

(نور در خلاء با سرعت حرکت می کند)

≈5نوریسال

فاصله تا پروکسیماسنچوری در حدود 4.3 سال نوری است. ولی از مبدا بدین معناست که کمتر از نیم متر از محور فاصله گرفته ایم.

در مقابل، توابع لگاریتمی نظیر وقتی ، از هر توان مثبتی از رشد کمتری دارند. اگر محورها را با سانتیمتر مدرج کنیم، باید روی محور به اندازه 4 سال نوری جلوبرویم تا نقطه ای بیابیم که به ازای آن ارتفاع نمودار تنها بشود.

برای اینکه این مقایسه ها بین توابع نمایی، چند جمله ای و لگاریتمی دقیق باشند باید منظور از «تابعی چون وقتی ، تندتر از تابع دیگری چون می کند» را تعریف کرد.

تعریف آهنگ رشد

وقتی ، تندتر از رشد می کند، هرگاه

و وقتی با یک آهنگ رشد می کنند، هرگاه

طبق این تعاریف، تندتر از رشد نمی کند. این دو تابع با یک آهنگ رشد می کنند، زیرا

که این حد، متناهی و ناصفر است. دلیل تناقص ظاهری این مطلب با آنچه عقل سلیم حکم می کند این است که ما می خواهیم« تندتر از رشد می کند» این معنا را برساند که برای مقادیر بزرگ در مقایسه با ناچیز باشد.