طول خم های واقع در صفحه

طول یک مسیر خمیده در یک صفحه را به همان طریقی تقریب می زنیم که طول یک جاده خمیده را روی نقشه به کمک خط کش برآورد می کنیم: طول پاره خط هایی را که دو سر آن ها روی خم است جمع می کنیم. این برآورد همواره حدی از دقت دارد که به دقت اندازه گیری و تعداد پاره خط ها بستگی دارد.

به کمک حساب دیفرانسیل و انتگرال می توان این کار را بهتر انجام داد زیرا می توانیم پاره خط ها را هرچه بخواهیم کوچک بگیریم، به طوری که خط شکسته ای که از پاره خط ها پدید می آید، هرچه بیشتر برخم منطبق باشد. با انجام دادن این کار می توان آن را با یک انتگرال محاسبه کرد.

فرمول اصلی دکارت

فرض می کنیم نمودار خمی باشد که محاسبه طولش مطلوب ما است (شکل زیر).

این خم را به قطعه تقسیم و نقاط تقسیم پیاپی را به هم وصل می کنیم تا تعدادی پاره خط به دست آید. طول یک پاره خط نمونه چون چنین است

طول خم از را با مجموع زیر تقریب می زنیم

انتظار می رود که وقتی تعداد پاره خط ها بهبینهایتو طول هر یک از آن ها به صفر میل کند، تقریب بهتر شود. همچنین می خواهیم نشان دهیم که مجموع فوق به حدی محاسبه پذیر میل می کند. برای اثبات این موضوع آن را به صورتی می نویسیم که بتوان قضیه وجود انتگرال را به کار برد.

فرض می کنیم مشتقی دارد که در هر نقطه از پیوسته است. در این صورت، بنا بهقضیه مقدار میانگیننقطه ای مانند روی خم و بین وجود دارد که در آن مماس بر خط موازی وتر است. یعنی

مجموع موجود در عبارت(1) با اینجانشانی به صورت زیر در می آید

اکنون مشاهده می شود که این مجموع، انتگرال زیر را تقریب می زند

بنابراین حد مجموع وقتی که تقسیمات ظریف تر و ظریف تر می شوند برابر با این انتگرال است. پس طول خم را از تعریف می کنیم. معمولا را جای قرار می دهند و فرمول انتگرال را ساده می کنند.

تعریف

طول خم

مثال1 طول خم زیر را از بیابید.

حل: طول را از معادله (4) محاسبه می کنیم

فرمول پارامتری

برای محاسبه طول خمی که با معادلات پارامتری مشخص می شود فرمول بسیار مفیدی وجود دارد. فرض کنید معادلات عبارت اند از

و نقطه وقتی که می رود دقیقا یک بار خم را طی می کند. برای تقسیم بندی خم، به جای تقسیم بندی محور ، بازه را تقسیم بندی می کنیم. به این ترتیب خم مانند شکل زیر تقسیم بندی می شود.

چنانکه در شکل دیده می شودمختصات دو نقطه پیاپی عبارت اند از و . بنابراین طول پاره خط را می توان به کمک قضیه فیثاغورس چنین محاسبه کرد.

(این فرمول را بزودی ساده می کنیم)

اگر مشتقات اول موجود و در پیوسته باشند، بنا بهقضیه مقدار میانگین داریم

(5)

که در آن ها مقادیر مناسبی اند که بین انتخاب می شوند. بنابراین مجموع طول های پاره خط های تقریب زننده خم به صورت زیر در می آید

این مجموع، مجموع ریمان تابعی نیست زیرا ضرورت ندارد نقاط یکی باشند. اما قضیه ای به نام قضیه بلیس (که در کتاب های پیشرفته تر اثبات می شود) ما را مطمئن می سازد که مجموع ها همگرایند و مقدار آن ها برابر انتگرال زیر است

طول خم پارامتری

مثال2 مکان ذره در زمان عبارت است از . این ذره بین چه مسافتی را می پیماید.

حل: مسافتی را که ذره از می پیماید از رابطه (7) به دست می آوریم

در این حالت درستی نتایج را می توان از راه هندسی بررسی کرد. چون به ازای همه مقادیر داریم

مطابق شکل زیر مسیر ذره پاره خط است که از(0,1) که در آن تا(0,1) که در آن امتداد دارد.

طول این پاره خط چنین است

فرمول دیفرانسیلی ساده

معمولا رابطه را به جای مشتقات با دیفرانسیل ها نمایش می دهند. از لحاظ صوری این عمل چنین انجام می شود که مشتقات را به صورت خارج قسمت های دیفرانسیل ها در نظر می گیرند و را به صورت به زیر رادیکال می آورند و به این ترتیب دیفرانسیل های مخرج را حذف می کنند

در نتیجه فرمول طول خم به صورت زیر در می آید

البته قبل از انجام انتگرال گیری در رابطه(8) باید را برحسب یکی از متغیرها بیان و حدود مناسبی برای انتگرال گیری تعیین کرد. رابطه (8) را باز هم می توان کوتاهتر کرد. را می توان دو ضلع مثلث کوچکی در نظر گرفت که وتر آن

دیفرانسیل طول قوسی است که می توان از ان بین حدود مناسبی انتگرالگرفت وطول خم را به دست آورد مانند شکل.

ترتیب رابطه(8) چنین می شود

مثال3 نشان دهید که به کمک فرمول می توان محیط یک دایره به شعاعr را تعیین کرد.

حل: معادلات پارامتری دایره را می نویسیم

همانند شکل

بنابراین

ناپیوستگی

در نقطه ای از یک خم که وجود ندارد، ممکن است موجود باشد و شاید بتوان با یک یا چند بار استفاده از فرمول زیر که همان رابطه (4) با تعویض است طول خم را یافت

مثال4 طول خم را بین را بیابید.

حل: خم را رسم می کنیم مانند شکل و مشتقش را می آزماییم

چون مشتق در مبدا بینهایت می شود، طول خم را، به جای رابطه (4)، از رابطه (11) به دست می آوریم. معادله را نسبت به حل می کنیم و چنین نتیجه می گیریم

طول قسمتی از خم که بین و مبدا قرار دارد برابر است با

طول قسمتی از خم که بین مبدا و قرار دارد چنین است

طول کل خم عبارت است از .

برای محاسبهL باید از دو انتگرال جداگانه استفاده کنیم زیرا معادله را به صورت دو تابع جداگانه از تعریف می کند. قوس را فرمول و قوس را فرمول مشخص می کند.

برای محاسبه انتگرال های ، جانشانی های

را به کار می بریم و چنین به دست می آوریم

برای اطمینان از اینکه در محاسبات خطا پیش نیانده است، می توان مجموع طول وترهای را محاسبه و درستی نتایج را بررسی کرد.

بنابراین به نظر می رسد جواب های به دست آمده معقول است.

مبدا در شکل فوق یک نقطه بازگشت است. در این نقطه شیب بینهایت می شود. چنانچه می خواستیم برای این خم خاص رابطه (4) را بدست آوریم، در می یافتیم که برای هر وتری چون که بر نقطه بازگشت پلمی زند نمی توانیم مرحله ای را که نیاز به قضیه مقدار میانگین دارد طی کنیم.

اما قضیه مقدار میانگین را می توان در مورد وتری که به نقطه بازگشت منتهی می شود یا از آن آغاز می شود به کاربرد، زیرا در این قضیهمشتق پذیر بودن در نقاط انتهایی ضرورت ندارد. بنابراین فرمولی که به جای رابطه (4) به دست خواهد آمد شامل دو انتگرال است: یکی طول از و دیگری طول از را به دست می دهد.

قاعده معمول در این مورد چنین است: هرگاه خمی یک یا چند نقطه بازگشت داشته باشد، طول آن را باانتگرال گیری از خم بین هر دو نقطه بازگشت و جمع نتایج به دست می آوریم.

مساحت رویه های دورانی

هنگامی که طناب بازی می کنید، طناب رویه ای را می روید. چنین به نظر می رسد که مساحت رویه به طول طناب و شعاع دوران هر قطعه از آن بستگی داشته باشد. در ادامه ارتباط میان مساحت یک رویه دورانی با طول و شعاع خمی که آن را ایجاد می کند بررسی می شود.

تعریف مساحت رویه و فرمول دکارت

فرض کنید خمی چون مطابق شکل زیر قسمت (الف ) حول محور دوران می کند و رویه ای پدید می آورد. اگر را با یک خط شکسته محاط در خم نظیر خط شکسته ای که برای تعریف طول قوس به کاربردیم تقریب بزنیم، هر قطعه از خط شکسته مخروط ناقصی به وجود می آورد که محورش بر محور منطبق است. تصویر بزرگ شده مخروط ناقص در قسمت (ب)شکل زیر دیده می شود.

مطابق قسمت (پ) شکل شعاع قاعده های مخروط ناقص را با مولد آن را با نشان می دهیم. بنابراین ، مساحت جانبی این مخروط ناقص، برابر است با

مجموع مساحات جانبی این مخروط های ناقص که ازدوران قطعات خط شکسته محاطی از به وجود می آیند تقریبی است از ، مساحت رویه ای که از دوران خم ایجاد می شود. این تقریب به طریق زیر به یک فرمول انتگرالی برای از منجر می شود.

فرض می کنیم مختصات مختصات باشد. به این ترتیب ابعاد مخروط ناقص حاصل از دوران پاره خط چنین است

بنا به رابطه(1)، مساحت جانبی مخروط ناقص چنین است

مساحت جانبی مخروط ناقص

با جمع کردن مساحات مخروط های ناقص روی بازه از چپ به راست داریم

مجموع مساحات مخروط های ناقص

اگر توابع پیوسته ای از باشند، می توان نشان داد که حد این مجموع چنین است

برای به دست آوردن این حد از در رابطه (4) چشم پوشیدیم. به این ترتیب مساحت رویه را برابر با مقدار انتگرال زیر تعریف می کنیم.

تعریف مساحت رویه

مثال 1 مطلوب است مساحت رویه حاصل از دوران خم

حول محور بیابید مطابق شکل زیر.

حل: برای به دست آوردن مساحت رویه، رابطه (6) را به ازای به کار می بریم

صورت های دیگر انتگرال

اگر محور دوران محور باشد، به جای فرمول(6) از فرمول زیر استفاده می کنیم

اگر معادلات خمی که رویه را ایجاد می کنند به صورت پارامتری باشند، مثلا به این ترتیب که توابعی از متغیرسومی چون t باشند که از تغییر می کند، آنگاه برای محاسبه می توان از فرمول زیر بهره گرفت

در این فرمول، فاصله محور دوران از جزء طول قوس است و به صورت تابعی از بیان می شود. همه فرمول های مربوط به مساحت رویه ها به صورت زیرا ند

که در آن، شعاع دوران جزء طول قوس شکل زیر است. اگر بخواهید تنها یک فرمول در مورد مساحت رویه به خاطر بسپارید، این فرمول مناسب است. در این صورت، درهر مساله خاص باید تابع شعاع، ، و دیفرانسیل طول قوس، ، را بر حسب یک متغیر بیان کرده و حدودانتگرال گیریرا مشخص کنید.