حد و بینهایت و پیوستگی

کاربرد حد:

می دانیم که برای به دست آوردنمشتق، لازم است حد را محاسبه کنیم. در هنگام محاسبه حد  وقتی  به صفر میل می کند،  را ثابت مگه می داریم در حالی که   تغییر می کند. در این حالت کل خارج قسمت را به عنوان تابعی از یک متغیر  درنظر می گیریم.

فرض کنید مقادیر تابعی چون  را در حالی که   به سمتc حرکت می کند بدون آنکه عملا مقدارcرا اختیار کند(همانطور که  به 0 میل می کند بدون آنکه مقدار 0 تغییر کند). وقتی  در محدوده ای به مرکزc و به شعاعr₁ قرار دارد،  در محدوده ای به مرکزL و به شعاع یک دهم واحد واقع است.

وقتی  حرکت خود را به سمتc ادامه می دهد،  باید نهایتا بهL نزدیک و نزدیکتر شود. مثلا به ازای همه مقادیر در محدوده ای به مرکزcو به شعاع کوچکترr₂،  در محدوده ای به مرکزLو به شعاع  واحد قرار داشته باشد.

لازم است  پس از مدتی  در داخل محدوده ای به مرکزLو به شعاع  واحد قرار گیرد. یعنی به ازای همه مقادیر  در محدوده ای به مرکزcوبه شعاعr₃، که ازr₂ هم کوچکتر است، تمام مقادیر  در بازه

 واقع باشند.

درواقع لازم است که به ازای هر بازه ی حول ، هر قدر کوچک، بتوانیم بازه ای از اعداد حول C بیابیم که همه مقادیر آن ها در داخل آن بازه ی حول باشند. به ازای هر شعاع مثبت  حول  ، یک شعاع مثبت  حول  Cوجود داشته باشد به قسمی که برای همه مقادیر در محدوده ای به مرکز Cو به شعاع  واحد (به استثنای ) مقادیر  در محدوده ای به مرکز و به شعاع واحد واقع باشند. بنابراین هر قدر    بدون مساوی شدن با  به   نزدیکتر شود،  نیز باید به   نزدیکتر شود.

تعریف حد

حد وقتی  به سمت C میل می کند، عدد  است اگر: به ازای هر شعاع  حول ، یک شعاع      حول C وجود داشته باشد به قسمی که به ازای هر داریم :

عبارت «حد   وقتی  به C میل می کند، برابر  است» را می توان به صورت  نوشت.

وقتی می گوییم   به سمت C میل می کند به حد  می گراید، یعنی اینکه به ازای هر مثبت یک عدد کوچک  مثبت وجود دارد (که به   وابسته است) بطوری که اگر  مقید به محدوده ای به مرکز C و شعاع  واحد باشد،  در محدوده ای به مرکز  و به شعاع  واحد قرار دارد.

حد چپ و حد راست

حد تابع  را وقتی  از سمت راست به C میل می کند حد راست  در C ، و حد تابع  را وقتی  از سمت چپ به C میل می کند حد چپ  در C می نامیم.

تعریف حد راست:

حد تابع   وقتی  از سمت راست به C میل می کند برابر با  است اگر: به ازای هر مفروض (هر شعاع حول ) یک  (شعاعی در سمت راست C) وجود داشته باشد که به ازای هر ،

تعریف حد چپ:

حد تابع وقتی  از چپ به C میل می کند کند برابر با  است اگر: به ازای هر مفروض (هر شعاع حول ) یک  (شعاعی در سمت چپ  C) وجود داشته باشد که به ازای هر ،

از مقایسه روابط

 

و

با

ارتباط حدهای چپ و راست در یک نقطه با حدی که قبلا تعریف شد معلوممی شود. اگر  را از عناصر نامساوی های  در روابط 1 و2 کم کنیم این نامساوی ها به شکل زیر در می آیند.

   ()

      ( )

روابط ( )  و ( ) بر روی هم معادل رابطه زیر را تشکیل می دهند.

بطور خلاصه  در یک نقطه دارای حد است اگر و تنها اگر حدهای راست و چپ در آنجا موجود و برابر با هم باشند. گاهی  را در حد دو طرفه  در  می نا میم تا آن را از حدهای یک طرفه راست وچپ  در  متمایز کنیم.

رابطه بین حدهای یک طرفه و دوطرفه

تابعی چون  در نقطه ای مانند  دارای حد است اگر و تنها اگر حدهای راست و چپ در موجود و برابر با هم باشند.

حد و بینهایت

حد وقتی  یا  تابع به ازای همه اعداد حقیقی بجز تعریف می شود. درمورد گزاره های زیر به وضوح صدق می کنند.

الف- وقتی  کوچک و مثبت است،  بزرگ ومثبت است. مثلا

ب- وقتی  کوچک و منفی است،  بزرگ ومنفی است. مثلا

پ- وقتی  بزرگ و مثبت است،   کوچک ومثبت است. مثلا

ت- وقتی  بزرگ و منفی است،  کوچک ومنفی است. مثلا

خلاصه چهار گزاره بالا به این ترتیب است:

الف- وقتیX از سمت راست به 0 میل می کند،   به  می گراید.

ب- وقتی از سمت چپ به 0 میل می کند،   به  می گراید.

پ- وقتی  به  می گراید،   به  میل می کند.

ت- وقتی  به  - می گراید،   به  میل می کند.

علامت بینهایت نشان دهنده هیچ عدد حقیقی نیست. نمی توانیم   را درحساب به روش معمول به کار ببریم، ولی بهتر است بتوانیم جمله هایی از قبیل « حد   وقتی به  به بینهایت میل می کند صفر است» را بر زبان آوریم.

تعریف حد وقتی  یا 

1.حد تابع  وقتی  به بینهایت میل می کند عددL است، اگر به ازای هر  یک عددM وجود داشته باشد بطوری که به ازای هر ، برقرار باشد.

2.حدF(x)  وقتیx  به بینهایت منفی میل می کند عددL است،   اگر به ازای هر  یک عددN وجود داشته باشد بطوری که به ازای هر ،  برقرار باشد.

عبارت  این معنی است که اگر  را مثبت و به قدر کافی بزرگ بگیریم،  را می توانیم به دلخواه بهL  نزدیک کنیم.

همچنین عبارت این معنی است که اگر  را منفی و به قدر کافی بزرگ (به قدر کافی دور از مبدا در سمت چپ) بگیریم،  را می توانیم به دلخواه به  نزدیک کنیم.

نابرابری های مذکور در  و   به این معنی هستند که اگر   به قدر کافی بزرگ باشد، خم  بین خط های   و  قرار دارد.

پیوستگی

توابع پیوسته

تابعی مانند  که بتوان نمودار آن را در هربازه ای از دامنه اش با حرکت پیوسته نوک قلم رسم کرد، مثالی از یکتابع پیوسته است. ارتفاع نمودار این تابع در طول بازه به طور پیوسته با x  تغییر می کند. در هر نقطه داخلی دامنه تابع، مانند نقطهc مانند شکل زیر مقدار تابع  حد مقادیر تابع در هریک از دو طرف است؛ یعنی  مقدار تابع در هر نقطه انتهایی نیز حد مقادیر تابع در نزدیکی آن 

 و در نقطه انتهایی راست b ،

چند تعریف

پیوستگی در یک نقطه داخلی

تابعی چونy=f(x)  در یک نقطه داخلی از دامنه اش، مانند c پیوسته است اگر  رابطه زیر برقرار باشد.

پیوستگی در یک نقطه انتهایی

تابعی چونy=f(x)  در یک نقطه انتهایی چپ از دامنه اش، مانند a پیوسته است اگر  رابطه زیر برقرار باشد.

تابعی چونy=f(x)  در یک نقطه انتهایی راست از دامنه اش، مانند  b پیوسته است اگر  رابطه زیر برقرار باشد.

تابع پیوسته

یک تابع پیوسته است اگر در هر نقطه از دامنه اش پیوسته باشد.

نا پیوستگی در یک نقطه

اگر تابعی چونf  در نقطه ای مانندc پیوسته نباشد، گوییم کهf  درc ناپیوسته است وc را یک نقطه نا پیوستگیf  می خوانیم.

آزمون پیوستگی

تابعy=f(x)  درx=c  پیوسته است اگر و تنها اگر هر سه گزاره زیرصدق کند.

1. f(c)  وجود دارد (وقتیc  در دامنه f  است).
2. )  وجود دارد (f  وقتیx→c   دارای حد است).
3.   (این حد برابر با مقدار تابع است).

در آزمون پیوستگی، اگرc  یک نقطه داخلی دامنهf  باشد حد مورد نظر دو طرفه است؛ واگرc  یک نقطه انتهایی دامنه باشد، حد مزبور یک حد یک طرفه مناسب(چپ یا راست) است.

نکات مهم پیوستگی

باید بین پیوستگی تابعy=f(x)  در x=c  و حد داشتن آن تابع وقتیx→c  تفاوت قائل شویم. حد،  جایی است که وقتیx→c  تابع به سوی آن می رود. پیوستگی عبارت استاز این ویژگی که وقتیx  عملا بهc  می رسدf(x)  نیز به نقطه اس که به سویش در حرکت بوده وارد می شود.

اگر حد آن چیزی باشد که وقتیx→c  انتظارش را دارید، و عدد  چیزی باشد که درx=c  به آن می رسید، آنگاه تابع درc   پیوسته است اگر چیزی که انتظارش را دارید با  یکی باشد.

جهت مظالعه مباحث پیشرفته در زمینه ریاضی یک از محصولکپسول آموزشی ریاضی عمومی 1 سایتلینوم استفاده کنید.