کاربردهای مشتق

کاربرد مشتق

وجود مماس افقی بدون وجود ماکسیمم یا مینیمم

نمی توان گفت که هر وقتمشتق صفر شود، الزاما تغییر علامت انجام می شود.

مشتق تابع یعنی در مبدا صفر، و در دو طرف آن مثبت است. نمودار مماس در x=0 را قطع می کند، و به صعود خود ادامه می دهد. به همین ترتیب نمودارمماس افقی در x=0 را قطع می کند وبه نزول خود ادامه می دهد. مانند شکل زیر

وجود ماکسیمم یا مینیمم در غیاب مماس افقی مماس

دیدیم یک تابع ممکن است در نقطه ای که صفر است، یک مقدار ماکسیمم ی مینیمم موضعی داشته باشد. در عمل، این واقعه چنان به وفور رخ می دهد که جستجو برای یافتن صفرهای را ارزشمند می سازد.

باید متوجه باشیم که ممکن است تابعی در نقطه ای که مشتق ندارد، مقدار ماکسیمم یا مینیمم موضعی داشته باشد. پس، جستجو برای یافتن مقادیر اکسترمم باید از حل معادله فراتر رود.

مثال: تابع در که وجود ندارد مانند شکل زیر مقدار مینیمم خودش را به دست می آورد.

تقعر و نقطه عطف

همانطور که در شکل زیر دیده می شود تابع همراه با افزایش x ، صعود می کند؛ اما قسمتی ازخم که مربوط به بازه است و قسمت مربوط به در جهت های متفاوتی می پیچند. اگر در امتداد خم از سمت چپ به طرف مبدا برویم، پیچش خم به سمت راست است. وقتی از مبدا دور می شویم، خم به سمت چپ می پیچد. قسمت چپ «به پایین خم می شود»، و قسمت راست«به بالا خم می شود».

توصیف پیچش به طریق دیگر این است که وقتی نقطه تماس از سمت چپ به مبدا میل می کند، مماس بر خم در جهت ساعت می چرخد. در این حالت شیب خم تقلیل می یابد. وقتی نقطه تماس از مبدا وارد ربع اول می شود، ماس در خلاف جهت ساعت می چرخد. در این حالت شیب خم زیاد می شود.

تقعر خم بر بازه ی که در آنy' کم می شود رو به پایین است، و بر بازه ی که در آن y' زیاد می شود رو به بالا است.

تعریف تقعر رو به پایین و تقعر برو به بالا

نمودار تابع مشتق پذیر در بازه ای که y' کم می شود تقعر رو به پایین دارد، و در بازه ای که y' زیاد می شود تقعر رو به بالا دارد.

اگر تابع علاوه بر مشتق اول، مشتق دوم هم داشته باشد می توانیم آزمون مشتق اول را در مورد تابع

' به کار ببریم و نتیجه بگیریم که اگر تقلیل می یابد، و اگر زیاد می شود. بنابراین، آزمونی داریم که می توانیم آن را در مورد فرمول به کار ببریم و تقعر نمودارش را تعیین کنیم. نام این آزمون،آزمون مشتق دومبرای تقعر است.

آزمون مشتق دوم برای تقعر

نمودار در بازه ای ، تقعر رو به پایین دارد و در بازه ای ، تقعر رو به بالا دارد.

مفهوم این آزمون این است که اگر ، آنگاه با افزایش x , 'y کاهش می یابد و مماس در جهت ساعت می چرخد. بر عکس، اگر ، آنگاه x زیاد می شود،' افزایش می یابد و مماس در خلاف جهت ساعت می چرخد.

مثال : طبق شکل زیر ، سراسر محور x ، خم تقعر رو به بالا دارد زیرا .

نقاط عطف

نقطه ای از خم که در آن تقعر عوض شود نقطه عطف نام دارد. پس نقطه عطف خمی که دوبار مشتق پذیر است نقطه ای است که در یک طرفش مثبت و در طرف دیگرش منفی است. در نقطه عطف صفر است زیرا مشتق ها دارای ویژگی مقدار میانی هستند.

ممکن است در نقطه ای که نقطه عطف نیست صفر باشد، و باید به این نکته توجه داشت مانند مثال زیر.

مثال: بر اساس شکل زیر خم در نقطه عطف ندارد. هر چند در آنجا صفرمی شود. مشتق دوم در تغییر علامت نمی دهد ( در واقع هرگز منفی نمی شود). خم در تمام محور تقعر رو به بالا دارد زیرا را بر یک تابع صعودی است.

در این مثال می بینیم که گرچه شرط در آزمون مشتق دوم برای تقعر شرط کافی است، اما شرط لازم نیست. خم در مبدا تقعر رو به بالا دارد، اما در مبدا مثبت نیست.

همچنین ممکن است نقطه عطف در جایی قرار بگیرد که وجود نداشته باشد. در این زمینه به مثال زیر توجه کنید.

مثال: در شکل زیر خم در با اینکهمشتق دوم وجود ندارد، نقطه عطف دارد. برای ملاحظه این نکته را به ازای محاسبه می کنیم.

وقتی، بینهایتمی شود. با وجود این به ازای ، خم تقعر رو به بالا دارد ( در اینجا صعودی است) و برای ( که در آن نزولی است ) تقعر رو به پایین دارد.

کاربرد رسم در نمودار

حال آنچه را آموخته ایم به کار می گیریم و نمودار یک چند جمله ای درجه سه را رسم می کنیم. مراحل 1 تا 5 که در حل مثال زیر آمده است دستورالعملی برای رسم نمودار است.

مثال: خم زیر را رسم کنید.

حل:

1. را محاسبه می کنیم.

2.نقاطی را که در آن می یابیم و تعیین می کنیم که کجا مثبت است و کجا منفی . به این وسیله می توان دریافت که خم در کجا صعود می کند و در کجا نزول. نقاطی که در آن ها ممکن است مقادیر ماکسیمم و مینیمم موضعی را به دست دهند.

پس از تجزیه داریم:

پس به ازای صفر است. طبق شکل زیر وقتی مثبت است، ، منفی است، و وقتی ، مجددا مثبت است. خم در ( که در آن از + به – تغییر می کند) یک ماکسیمم موضعی، و در

( که در آن از –به + تغییر می کند) یک مینیمم موضعی دارد.

3.حال ببینیم کجا صفر است، و نیز جاهایی را که مثبت یا منفی است تعیین کنیم. از این راه اطلاعاتی در مورد تقعر به دست می آوریم. نقاطی که در آن ها ، ممکن است نقاط عطف باشند.

داریم :

پس به ازای صفر ، به ازای منفی، و به ازای مثبت است. خم بر تقعر رو به پایین دارد و بر تقعر رو به بالا. نقطه نقطه عطف است زیرا در تغییر علامت می دهد.

4.جدول کوچکی از مقادیر تشکیل می دهیم. این جدول اطلاعاتی را که تا به حال به دست آورده ایم را در بر دارد. عرض از مبدا، و مقادیر چند نقطه اضافی را هم یادداشت می کنیم تا احساسی کلی از شکل خم به دست آوریم.

5.نقاط موجود در جدول را مشخص می کنیم، مماس ها را می کشیم، و از اطلاعات موجود درباره صعود، نزول و تقعر استفاده می کنیم و نمودار را رسم می کنیم.

مجانب ها و تقارن

در این قسمت توابع گویا از را با در نظر گرفتن رفتارشان، وقتی مخرج به صفر نزدیک یا از لحاظ عددی بزرگ می شود، رسم می کنیم. نمودار تابع های فرد یا زوج تقارن هایی دارند که آگاهی از آن ها مهم است، بنابراین این مطلب را بررسی می کنیم.

تقارن در نمودار تابع های زوج و فرد

تابع یک تابع زوج از است هرگاه به ازای هر در دامنه تابع، ؛ و یک تابع فرد است هرگاه به ازای هر در دامنه تابع،.

زوج بودن تابع معادل است با اینکه نمودارش نسبت به محور متقارن باشد. چون ، نقطه بر خم واقع است اگر و تنها اگر نقطه هم بر خم واقع باشد.

فرد بودن تابع معادل است با اینکه نمودارش نسبت به مبدا متقارن باشد. چون، نقطه(x,y) بر خم واقع است اگر و تنها اگر نقطهنیز بر خم واقع باشد.

نمودارهای معادلاتی که صرفا شامل توان های زوجx باشند نسبت به محورy متقارن اند. اما قاعده متناظری برای توان های فرد و تقارن نسبت به مبدا وجود ندارد.

مثال: توابع

y=1+1x وy=1x-1

فرد نیستند، هر چند فرمول های آن ها تنها توان های فردx را شامل می شوند. در مورد اول

در مورد دوم

هیچ یک از نمودارها نسبت به مبدا متقارن نیست.

مجانب های افقی و قائم

وقتی یک نقطهp روی نمودار تابعی چون رفته رفته از مبدا دور می شود، ممکن است فاصله بینp و خطی ثابت به صفر نزدیک شود؛ به عبارت دیگر خم وقتی از مبدا دور می شود، به خط «میل می کند». در این حالت خط را مجانب نمودار می نامند. مثلا محورx و محورy ، مجانب های خم هایy=1/x2 وy=1/x هستند.

مثال مجانب های عبارت اند از خط هایy= 1 وx= 1 . این مطلب با تقسیمx برx- 1

و سپس نوشتن معادله به صورت فورا آشکار می شود. خط از سمت راست مجانب است زیرا

این خط از سمت چپ نیز مجانب است زیرا وقتی ، باز هم به 1 میل می کند. به ازای مقادیر بزرگ رفتار نظیر رفتار است. خط مجانب قائم شاخه سمت راست نمودار است زیرا

و مجانب قائم شاخه سمت چپ هم هست زیرا

به ازای های نزدیک 1 رفتار این تابع شبیه رفتار است. بطور کلی، تعریف مجانب افقی و مجانب قائم به شرح زیر است.

تعریف مجانب های افقی و قائم

خط مجانب افقی نمودار تابع است اگر داشته باشیم

خط مجانب قائم نمودار تابع است اگر داشته باشیم.

مثال

شکل زیر نمودار

را نشان می دهد. خط یک مجانب سمت راست است زیرا وقتی ، و یک مجانب سمت چپ هم هست زیرا وقتی،.

خط یک مجانب قائم است زیرا

و نیز زیرا

به همین ترتیب خط یک مجانب قائم است زیرا وقتی ، و نیز وقتی ، .

مجانب های مایل

اگر تابعی گویا خارج قسمت دو چند جمله ای باشد که عامل مشترک نداشته باشند، و اگر درجه صورت، یک واحد بیشتر از درجه مخرج باشد، آنگاه نمودار یک مجانب مایل دارد. برای مثال تابع

یک مجانب مایل دارد شکل زیر. برای مشاهده دلیل این امر را بر تقسیم می کنیم.

بنابراین داریم

به این ترتیب می بینیم که

پس فاصله قائم بین خم و خط وقتی ، به صفر میل می کند. بنابراین خط مجانب خم است.

توجه کنید که وقتی شیب خم یعنی

به 2/1 میل می کند که شیب خط است. خط در مجانب قائم نیز دارد.

مثال: نموار تابع زیر را رسم کنید.

حل: برای رسم نمودار، تقارن، مجانب ها، صعود و نزول، تقعر را در نظر می گیریم.

تقارن، این تابع فرد است؛ لذا نمودارش نسبت به مبدا متقارن است.

مجانب ها، اگر از سمت راست به 0 میل کند، آنگاه . اگر از سمت چپ به 0 میل کند، آنگاه . خط مجانب قائم است.

وقتی ، و بنابراین، خط نیز مجانب نمودار است.

صعود و نزول. مشتق اول،

وقتی و ، برابر با صفر است، و در تعریف نمی شود. مشتق وقتی مثبت ، وقتی

و منفی، و وقتی ، مثبت است (شکل زیر).

لذا نمودار بر صعود می کند، و بر نزول می کند. این تابع در یک مقدار ماکسیمم موضعی دارد زیرا در این نقطه از + به 1- تغییر می کند، و در که از – به + تغییر می کند یک مقدار مینیمم موضعی دارد.