فنی و مهندسی

سیستم های نیرو در استاتیک

تاریخ انتشار: 11 ماه پیش
زمان مطالعه: 15 دقیقه
0 نفر دوست داشتن!
0 نفر نظر دادن
سیستم های نیرو در استاتیک

فصل دوم: سیستم‌های نیرو

 در آموزش قبلی استاتیک در موردمفاهیم اولیه استاتیک صحبت کردیم. در این آموزشلینومبه بررسیسیستم‌های نیرو می‌پردازیم

انواع نیروها: نیروها را می‌توان به دو شکل زیر طبقه بندی کرد.

1- نیروهای تماسی: در اثر تماس فیزیکی مستقیم ایجاد می‌شوند.

2- نیروهای حجمی: در اثر قرار گرفتن جسم در یک میدان گرانشی، مغناطیسی یا الکتریکی ایجاد می‌شوند.

 

1- بارهای گسترده: در یک طول، سطح یا حجم به جسم وارد می‌شوند.

2- بارهای نقطه ای: اگر ابعاد سطحی که بار به آن وارد می‌شود در مقایسه با سایر ابعاد قابل صرف نظر باشد، آن را به صورتبار نقطه ای درنظر می‌گیریم.

 

به طور مثال در شکل1 نیروی800 N/m به صورت گسترده در یک طول 3 متری و بار1500 Nبه صورت نقطه به تیر وارد شده است. در فصل 5 بابارهای گسترده به طور کامل آشنا خواهیم شد.

 

 نمایش بار نقطه ای و بار گسترده بر تیر

شکل 1- نمایش بار نقطه ای و بار گسترده بر تیر

 

از آنجایی که در درساستاتیک با کمیت‌های برداری مانند نیرو کار می‌کنیم، باید به قوانین حاکم بر این کمیت‌ها تسلط کافی داشته باشیم.

 

بردارها در صفحه

برایند بردارها:برای بدست آوردن برایند دو بردار به روش ترسیمی، از دو روش متوازی الاضلاع و مثلث استفاده می‌کنیم (شکل2). در روش متوازی الاضلاع ابتدا از یک نقطه، هم‌سنگ بردار اول را رسم کرده و از ابتدای آن، هم‌سنگ بردار دوم را رسم می‌کنیم. برای پیدا کردن شکل متوازی الاضلاع، از انتهای بردار اول خطی به موازات بردار دوم رسم می‌کنیم. از انتهای بردار دوم هم خطی به موازات بردار اول می‌کشیم و بدین ترتیب متوازی الاضلاع بدست می‌آید. قطر این متوازی الاضلاع، برایند دو بردار است (شکل2-b).

در روش مثلث، هم‌سنگ بردار اول را از نقطه ای کشیده و از انتهای آن، هم‌سنگ بردار دوم را رسم می‌کنیم. ابتدار بردار اول را به انتهای بردار دوم وصل می‌کنیم و بردار حاصل، همان برایند دو بردار است(شکل2-c). پررنگ بودنV ها در شکل بیانگر این است که اینکمیت‌ها برداری هستند.

 (a) نمایش دو بردار . (b) برایند بردارها به روش متوازی الاضلاع. (c) برایند بردارها به روش مثلث

شکل 2-(a) نمایش دو بردار.(b) برایند بردارها به روش متوازی الاضلاع.(c) برایند بردارها به روش مثلث

V= V1+ V2برایند بردارهاست.

 

پیدا کردن تفاضل دو بردارV1وV2 ،یعنیV2-V1،کافیست بردارV2-را رسم کرده و برایند این بردار وV1را به کمک یکی از روش‌های ذکر شده بدست آورد.

برای پیدا کردن بردار برایند بیش از دو بردار، هم‌سنگ بردارها را به دنبال هم رسم می‌کنیم (مشابه روش مثلثی).

برداری که ابتدای بردار اول را به انتهای بردار آخر وصل می‌کند، برایند بردارهاست (شکل 3).

 نمایش رسم  برایند سه بردار

 

شکل3- نمایش رسم  برایند سه بردار

 

تفاضل بردارها:برای پیدا کردن حاصل تفاضلV1-V2 کافیست بردار-V2 را رسم کرده و سپس به دو روش ذکر شده در پیدا کردن برایند دو بردار، برایند-V2 وV1را پیدا کنیم (شکل 4).

 (a) نمایش دو بردار . (b) تفاضل بردارها به روش متوازی الاضلاع. (c) تفاضل بردارها به روش مثلث

شکل 4- (a)نمایش دو بردار .(b)تفاضل بردارها به روش متوازی الاضلاع. (c) تفاضل بردارها به روش مثلث

 

 

تجزیه بردار ها به مولفه‌های متعامد و غیر متعامد

در قسمت قبل مشاهده شد که می‌توان مجموع دو بردار را بهروش متوازی الاضلاع یا مثلث پیدا کرد. حال در صورتی که دو امتداد متعامد در صفحه و برداری مانندF داشته باشیم، می‌توان آن را مطابق شکل‌5 بر دو امتداد  تجزیه کرد.

شکل 3- تجزیه بردار F به دو بردار متعامد Fx و Fy

شکل3- تجزیه بردارF به دو بردار متعامدFx وFy

برایند بردار ها

 

در شکل 6 تجزیه بردارV را بر دو امتداد غیر متعامد 1 و 2 می‌‌بینیم.

تجزیه بردار V به دو بردار غیر متعامد V1 و V2

شکل 4- تجزیه بردارV به دو بردار غیر متعامدV1 وV2

 

درتجزیه بردار به مولفه‌های غیر متعامد، استفاده از قانون سینوس‌ها و کوسینوس‌ها بسیار کارامد است (شکل7).

 قانون سینوس‌ها و کوسینوس‌ها در مثلث

 شکل 5- قانون سینوس‌ها و کوسینوس‌ها در مثلث 

بردارها در فضا

بردارv شکل 8 را در نظر بگیرید.

 نمایش بردار در فضا

 شکل 6- نمایش بردار در فضا 

 این بردار در هر سه راستایx،y وz مولفه دارد که آنها را باVxوVy وVzنشان می‌دهیم و داریم:

بردار

می‌توان نوشت:

بردار

منظور ازl،n وm، کوسینوس‌های هادی (کوسینوس بردارvبا هر یک از سه محورx،y وz) است.

بردار

لازم به ذکر است که مجموع مربعات کوسینوس‌های هادی برابر یک است.

بردار

مربع اندازه بردارVبرابر مجموع مربعات اندازه مولفه‌های آن در سه راستاست:

بردار

برای حل مسائل سه بعدی معمولا نیاز است که نیرو به صورتبرداری نوشته شود. برای این کار غالبا از دو روش زیر استفاده می‌شود.

1-در صورتی که مختصات دو نقطه از خط اثر نیرویF مشخص باشد، می‌توان بردار یکه راستای نیرو را پیدا و در اندازه نیرو ضرب کرد تا بردار نیرو بدست آید (شکل9).

 استفاده از مختصات نقاط A و B برای پیدا کردن بردار یکه راستای AB

شکل 7- استفاده از مختصات نقاطA وB برای پیدا کردن بردار یکه راستایAB

 

فرمول های استاتیک

-در روش دوم، دو زاویه ای که جهت خط اثر نیرو را معلوم می‌کنند داریم (شکل 10).

نوشتن بردار نیرو با داشتن دو زاویه که جهت خط اثر آن را معلوم می‌کنند

 شکل 8- نوشتن بردار نیرو با داشتن دو زاویه که جهت خط اثر آن را معلوم می‌کنند 

در اینصورت با توجه به شکل داریم:

بردار

برای تجزیه نیرویFدر صفحهx-y و پیدا کردن مولفه‌هایx وy نیرو می‌توان نوشت:

بردار

مفهوم گشتاور

وقتی به جسمی نیرو وارد می‌شود، جسم در راستای وارد شدن نیرو تمایل به حرکت پیدا می‌کند. این یکی از اثرات نیرو بر جسم است. اثر دیگر نیرو بر جسم، ایجاد تمایل به دوران جسم حول یک محور است. این محور هر محور غیر موازی و غیر متقاطع با راستای خط اثر نیرو می‌تواند باشد. این تمایل به دوران راگشتاور نیرو یا ممان می‌گویند.

گشتاور نیرو حول یک نقطه

با توجه به شکل 11، بردار گشتاور نیرویF حول نقطهA و یا محورO-Oکه عمود بر صفحه از نقطهA می‌گذرد برابر است با حاصلضرب خارجی بردارr در بردارF. در این رابطه، بردارr بردار موقعیتی است که از نقطهA تا هر نقطه از خط اثر نیرویF رسم می‌شود.

بردار ماتریس

اندازه این عبارت برابر است با

فرمول

که در آنF، اندازه بردارF وd،بازوی گشتاور، برابرrsinα  است.α زاویه بین بردارr و نیرویF است.

نمایش گشتاور نیروی F حول نقطه A

شکل 9- نمایش گشتاور نیرویF حول نقطهA

 

برای تعیین جهت گشتاور، ازقانون دست راست استفاده می‌شود. بدین صورت کهاگر انگشتان دست راست را در جهت بردارrبگیریم و سپس در جهت نیرویF انگشتان را بچرخانیم، انگشت شست جهت بردار گشتاور را نشان خواهد داد. به طور قراردادی، جهت پادساعتگرد (برون سو) گشتاور، مثبت و جهت ساعتگرد (درونسو) منفی در نظر گرفته می‌شود. این قرارداد را می‌توان برعکس درنظر گرفت اما باید توجه داشت که اولا در حل سوال، قراردادی که حل بر مبنای آن انجام شده باید ذکر شود و دوما تا انتهای حل سوال، قرارداد به همان صورت فرض شده حفظ شود.

انتخاب بین روش برداری محاسبه گشتاور و یاروش اسکالر، بستگی به صورت سوال و هندسه آن دارد. معمولا در سوالات سه بعدی، نوشتن بردارهایr وF و استفاده از روش برداری، حل سوال را راحت‌تر می‌کند.

گشتاور نیرو حول یک محور

برای پیدا کردن گشتاور نیرو حول یک محور، کافیستگشتاور نیرو را حول یک نقطه از آن محور بدست آورده و سپس حاصل را در بردار یکه آن محور ضرب داخلی کرد. در شکل 12، بردار یکه راستای محورAB،λاست.

محاسبه گشتاور نیروی F حول محور AB

شکل 10- محاسبه گشتاور نیرویFحول محورAB

 

به صورت برداری می‌توان نوشت:

ماتریس

در این رابطه، β ،αوγمولفه‌های بردار یکه راستایAB هستند.

 

قضیه وارینیون

اگر به جسمی چندین نیرو مانندF1،F2 و .... وارد شود، مجموع گشتاورهای این نیروها حول نقطه ای مانندA برابر گشتاور برایند نیروها حول همان نقطه است (شکل 13).

نمایش چند نیروی وارد شده به نقطه A برای بیان کاربرد قضیه وارینیون

شکل 11- نمایش چند نیروی وارد شده به نقطهA برای بیان کاربرد قضیه وارینیون

کوپل

به گشتاور تولید شده توسط دو نیروی موازی، هم اندازه و خلاف جهت هم که بر یک خط قرار ندارند،کوپل گفته می‌شود. در حقیقت این دو نیرو تمایل به چرخش را در جسم ایجاد می‌کنند. اندازه گشتاور کوپل برابر حاصلضرب اندازه یکی از نیروها در فاصله عمودی بین خط اثر نیروهاست (شکل14).

کوپل‌ها در مکانیک جسم صلب، بردار آزاد هستند؛ بدین معنا که اثر آن‌ها برجسم صلب مستقل از نقطه اعمال آن‌هاست.

نمایش دو نیروی وارد شده در صفحه که ایجاد گشتاور کوپل می‌کنند

 شکل 12- نمایش دو نیروی وارد شده در صفحه که ایجاد گشتاور کوپل می‌کنند 

می‌توان بردار گشتاور کوپل را از حاصلضرب خارجی بردارr در بردارF پیدا کرد که این بردارها در شکل 16 نمایش داده شده اند

نمایش گشتاور کوپل در صفحه

 شکل 13- نمایش گشتاور کوپل در صفحه 

کوپل‌های معادل

تا زمانی که حاصل ضربd درF تغییر نکند، تغییر دادن مقادیر آن‌ها باعث ایجاد تغییر در کوپل نمی‌شود. همچنینکوپل می‌تواند بدون تغییر تاثیر خارجی‌اش، در صفحه خود و یا در صفحات موازی آن جابجا شود. به این کوپل‌ها، کوپل‌های معادل گفته می‌شود (شکل 15).

 

 

 

 نمایش کوپل‌های معادل

شکل14- نمایش کوپل‌های معادل

 

 

کوپل در فضا

برای محاسبه بردار کوپل در فضا، از قوانین مشابه کوپل صفحه ای استفاده می‌شود (شکل 17).

کوپل

اندازه این کوپل برابر است با  

 

 نمایش کوپل در فضا

شکل 15-نمایش کوپل در فضا

سیستم کوپل- نیرو

نیروی وارد شده به جسم آن را کشیده یا هل می‌دهد، و یا حول هر محوری غیر از خط اثر خود نیرو، جسم را می‌چرخاند. این اثر دوگانه نیرو بر جسم را می‌توان با جایگزین کردن آن با یک نیروی موازی و یک کوپل بهتر نشان داد.

در فصل اول گفته شد که اگر نیروی وارد شده بر جسم صلب در راستای خط اثر خود جابجا شود، تاثیری که بر جسم می‌گذارد تغییر نمی‌کند. حال می‌خواهیم بررسی کنیم اگر نیرو در راستایی غیر از راستای خط اثر خود جابجا شود چه اتفاقی می‌افتد. به شکل 18 دقت کنید. همانطور که مشاهده می‌شود، با انتقال نیرویF به نقطهA، کوپلی برابرFd تولید می‌شود کهd فاصله عمودی بین دو راستا است. در مثال زیر، کوپل تولید شده پادساعتگرد است.

نمایش جابجایی خط اثر نیرو

 شکل 16- نمایش جابجایی خط اثر نیرو 

بنابراین وقتی نیرو به راستایی غیر از راستای خط اثر خودش منتقل شود، در اثر این انتقال یک کوپل برای جبران تغییر گشتاور ایجاد می‌شود.

اغلب به سیستم‌ها نیروهای متفاوتی وارد می‌شود (شکل 19- تصویر چپ) که برای بررسی راحت‌تر سیستم، همه نیروها را به روش گفته شده یک نقطه خاص انتقال می‌دهیم. این نقطه می‌تواند مرکز جرم جسم و یا هر نقطه دیگری که در صورت سوال ذکر شده است باشد. دو سیستم نیرو زمانی با هم معادلند که بتوان آن‌ها را به یکسیستم نیرو- کوپل یکسان در یک نقطه معین مثلO تبدیل کرد. در شکل زیر، به جسم سه نیرو وارد شده است که با انتقال آنها به نقطهO، سه کوپل تولید می‌شود (شکل19- تصویر وسط). می‌توان برایند نیروها را با بردارR و برایند کوپل‌ها را با بردارM نمایش داد (شکل19-تصویر راست).

فرمول استاتیک

نمایش یک  سیستم نیرو و سیستم نیرو- کوپل معادل آن در نقطه O

شکل17-نمایش یک  سیستم نیرو و سیستم نیرو- کوپل معادل آن در نقطهO

دقت شود مقدارR، یعنی نیروی برایند، مستقل از نقطه‌ای است که سیستم به آن انتقال داده می‌شود؛ اما مقدار و جهت کوپل برایندM به موقعیت این نقطه بستگی دارد.

رنچ

وقتی بردار ممان برایندM موازی بردار نیروی برایندR باشد، به این برایند رنچ گفته می‌شود. وقتی جهت بردارهایR وM یکسان باشد، رنچ مثبت (شکل 20- تصویر چپ) و در غیر اینصورت، رنچ منفی است (شکل 20- تصویر راست).

نمایش رنچ مثبت (تصویر چپ) و منفی (تصویر راست)

شکل18- نمایش رنچ مثبت (تصویر چپ) و منفی (تصویر راست)

رنچ ساده‌ترین فرم سیستم نیرو- کوپل است.

در شکل 21-a، حالت عمومی سیستم کوپل- نیروی معادل یک سیستم نیرو را مشاهده می‌کنیم کهR نیروی برایند  وM کوپل برایند است. با توجه به اینکهM یک بردار آزاد است، برای راحتی در نمایش سیستم، آن را به گونه‌ای قرار دادیم که از نقطهO بگذرد. حالM را در دو راستا تجزیه می‌کنیم؛ راستای بردارR (M1) و راستای عمود بر آن(M2) (شکل 21-b).می‌توان کوپلM2 را با دو نیرویR و-Rبا فاصلهd= M2/R جایگزین کرد (شکل 21-c). حال برایند نیرویR اولیه و نیروی-R صفر می‌شود. در نتیجه آنچه باقی می‌ماند، نیرویR در یک راستای جدید و کوپلM1 است کهM1نیز یک بردار آزاد است. بنابراین سیستم نیروی اولیه به یک رنچ مثبت تبدیل شتبدیل سیستم نیرو به یک رنچ

 شکل 19- تبدیل سیستم نیرو به یک رنچ 


برای تسلط بیشتر بر این مباحث، می‌توانید  کپسول آموزشی استاتیکلینوم را  مشاهده کنید.

0 نفر نظر دادن

نظرهای شما

نظر شما دربارۀ این مقاله چیه؟