انتگرالهای ناسره
در اینآموزش کپسولی لینوم، به سراغ یادگیریانتگرالهای ناسره و قضایای مختلف میرویم.
صورت های مبهم
قضیه کوشی شوارتز
اگر توابع و
در بازه بسته
پیوسته و در فاصله باز
مشتقپذیر باشند و اگر به ازای همه مقادیر
در بازهی
،
آنگاه حداقل یک عدد همانند
در بازهی
وجود دارد به طوری که:
دستورهوپیتال
اگر توابع و
مشتقپذیر باشند و
باشد, در صورتی که جواب حد
به صورت مبهم
درآید، در این صورت میتوان از قاعده هوپیتال استفاده کرد.
قاعده هوپیتال به این صورت است که از صورت و مخرج به صورت جداگانه مشتق گرفته و سپس حد را بررسی خواهیمکرد.
برخی صورت های مبهم مهم
علاوه بر موارد نامبرده شده، صورتهای مبهم دیگری نیز وجود دارند که به صورت موارد زیر هستند:
دراینگونه مسائل، با روشهای مناسب سعی میکنیم تا به یکی از حالتهای تبدیل کرده و از روش هوپیتال یا روشهای دیگر استفاده خواهیمکرد.
انتگرالهای ناسره
اگر تابع در بازهی
پیوسته و نامنفی باشد، مساحت ناحیه بین منحنی
و محور
ها در بازهی
برابر است با :
اگر تابع به ازای اعدادی چون
در بازهی باز
دارای ناپیوستگی نامتناهی بوده ولی در بازهی نقاط
پیوسته باشد، در این صورت تعریف میکنیم که:
انتگرال های ناسره با انتگرال بیکران
اگر تابع در بازهی
پیوسته باشد و
باشد، در این صورت خواهیمداشت:
اگر حد فوق وجود داشته باشد،انتگرال ناسرهی را همگرا و درغیر اینصورت آن را واگرا گویند.
اگر در بازهی پیوسته و
باشد, در این صورت خواهیمداشت:
اگر تابع به ازای اعدادی چون
در بازهی باز
دارایناپیوستگی نامتناهی بوده ولی در بازهی نقاط
پیوسته باشد، در این صورت تعریف میکنیم که:
*انتگرال ناسره تنها وقتی همگرا است که هر دو انتگرال طرف راست همگرا باشند.
فرمول تیلور
قضیه: اگر یک تابع باشد به طوری که مشتقهای اول تا
ام آن در
وجود داشتهباشند، در این صورت چند جملهای زیر را
امین چندجملهای
حول
مینامیم.
*نکته: اگر را در فرمول قرار دهیم،قضیه تیلور بهقضیه مک لورن تبدیل میشود.
قضیه تیلور
اگر یک تابع و
عددی طبیعی باشد به طوری که:
در بازهی
وجود داشته باشد، اگر
و
دو عدد متفاوت در
باشند، آنگاه عددی چون
وجود دارد به طوری که:
به ازای، فرمول بالا به صورت
تبدیل میشود.
برای تسلط بیشتر بر این مباحث، میتوانید کپسول آموزش ریاضی عمومی2 لینوم را هم مشاهده کنید.