5) معرفی دنباله ­ها و سری­ های مختلط و روش حل سری ­های مختلط

1-5 دنباله­ های مختلط

در اینآموزش کپسولی لینوم، به سراغ یادگیری دنباله‌های مختلط می‌رویم.

دنباله نامتناهی  در اعداد­مختلط دارای حد  است اگر

در این صورت گوییم که دنباله    به همگرا است. می‌­توان نشان ­داد که حد یک دنباله در صورت وجود منحصر‌­به‌فرد است. اگر یک دنباله دارای حد نباشد، آن را واگرا می­‌نامیم.

قضیه زیر حد دنباله ­های مختلط را به حد دنباله­‌های حقیقی مربوط می‌­سازد.

 مثال1 )چون دنباله ­های حقیقی    و ، به ترتیب به   و همگرا هستند، پس دنباله مختلط   به همگرا است.

2-5 سری­ های عددی­ مختلط

اگر یک دنباله مختلط باشد، حاصل جمع جملات آن را به شکل نمایش ­داده و آن را یکسری­ مختلط می‌­نامیم. سری راهمگرابه عدد  نامیم اگر دنباله  ، اُمینحاصل جمع جزئی، به   همگرا گردد، یعنیدر اینصورت می­‌نویسیم:

   رامقدار سریمی‌­نامند.

توجه­ کنید که چون حد یک دنباله در صورت وجود منحصر­به ­فرد است، بنابراین حد دنباله   یعنی مقدار­سری نیز درصورت وجود منحصر­‌به‌­فرد می گردد. اگر یک سری همگرا نباشد، آن راواگرامی­‌نامیم.

 قضیه زیر مقدار یک سری مختلط را به مقدار سری­‌های حقیقی مربوط می­کند.

 مثال2 )چون سری‌­های حقیقی  وهمگرا هستند، پس سری مختلط   نیز  همگراست.

 مثال3 )سری   یک سری واگراست زیرا فاقد شرط لازم همگرایی است.

اگر  مقدار سری باشد،   راباقی‌­ماندهسری ­می­‌نامند. توجه ­کنید که چون   ، بنابراین اگر سری همگرا باشد، یعنی  ، آنگاه .

یعنی اگر سری همگرا باشد، باقی­‌مانده سری به سمت صفر میل خواهد­کرد.

3-5 سری­‌های توابع

در این قسمت ازآموزش لینوم به سراغ سری‌های توابع می‌رویم.

ما غالبا علاقمندیم رفتار سری­‌هایی از توابع روی حوزه به شکل  را مطالعه ­کنیم.

یک چنین سری­‌هایی روی  همگرا نامیده­ می­‌شوند اگر سری برای هر مقدار  در به  همگرا گردد. در این صورت می­‌نویسیم:   .    را مقدار سری در   می­ نامند.

با توجه بهقضیه2نتیجه­ می‌­گیریم که شرط لازم و کافی برای همگرایی سری در حوزه ، همگرایی سری­‌های حقیقی   و   دراست.

همچنین از آزمون­‌های تشخیص رفتار سری‌­های حقیقی می­‌توان به سادگی برای سری‌های­ مختلط استفاده­ کرد. در زیر به آزمون نسبت اشاره­ می‌کنیم:

آزمون نسبت:سری   همگراست اگر حد  کوچک‌­تر از یک گردد. اگر این حد بزرگ تر از یک شد، سری واگراست. در حالتی که مقدار حد برابر یک شود، هیچ نتیجه‌ای در مورد رفتار سری حاصل نمی­‌شود و باید از سایر آزمون­‌های تشخیص رفتار استفاده ­کرد.

 دقت­ کنید که در مورد همگرایی ­معمولی، برای تعیین مقدار سری با دقتی دلخواه نمی­‌توان حدی برای تعداد جملات سری قرار­داد.

معمولا برای تحقیق همگرایی یکنواخت یک سری از آزمون زیر موسوم بهآزمون وایراشتاساستفاده می‌­شود.

آزمون وایراشتاس:اگر دنباله­ عددی مثبتی چون موجود ­­باشد به طوری که برای همه مقادیر در ناحیه  و تمام  های صحیح، داشته­باشیم ، در این‌صورت اگر سری   همگرا باشد، آنگاه سری   در ناحیه  همگرای­ یکنواخت است.

برای اثبات کافیست از رابطه زیر و همچنین همگرایی سری  استفاده ­کنیم:

می­‌توان نشان­ داد:

1- حاصل جمع یک سری همگرای­ یکنواخت از توابع­ پیوسته، پیوسته است.

یعنی اگر  برای هر  در ناحیه  پیوسته­ بوده و  در همگرای­ یکنواخت    باشد، آنگاه  در ناحیه  پیوسته است.

2- حاصل جمع یک سری همگرای­ یکنواخت از توابع تحلیلی، تحلیلی است و از آن می­‌توان جمله ­به­ جمله مشتق یا انتگرال گرفت.

4-5 سری­ های ­توانی و روش حل سری های توانی

حال ما به یکی از اساسی‌ترین ابزار در آنالیز توابع مختلط، یعنیسری­‌های توانی می‌پردازیم.

یک سری به شکل ، که در آن   یک عدد مختلط، یک عدد طبیعی، و دنباله  یک دنباله مختلط است، یکسری توانینامیده­ می‌­شود.

به سادگی می­‌توان با استفاده ازآزمون نسبتناحیه همگرایی یک سری توانی را مشخص نمود.

اگر موجود یا برابر بی‌­نهایت شود، آنگاه

1)  اگر ، سری برای همه  ها همگرای­ مطلق است.

سری برای همه  ها همگرای­ مطلق است.

2) اگر، سری برای همه  هایی که   همگرا و برای   هایی که   واگرا است.

3) اگر  ، سری فقط در نقطه   همگرا است.

 مثال5 )شعاع همگرایی سری توانی  را تعیین ­کنید.

حل:شعاع همگرایی برابر است با:

پس دایره همگرایی و قرص همگرایی  است.

▄

با استفاده از آزمون وایراشتاس، می‌توان نشان‌داد که هر سری توانی در داخل قرص همگرایی خود همگرای یکنواخت است، بنابراین چون تمامی جملات یک سری توانی، تحلیلی هستند؛ نتیجه می‌گیریم که هر سری توانی در قرص همگرایی خود تحلیلی بوده و از آن می‌توان جمله به جمله مشتق یا انتگرال گرفت.

5-5 بسط­ تیلور توابع و روش حل بسط تیلور توابع

بنابراین بسط­ تیلور ، یک جانشین معتبر برای تابع، در کلیه نقاط داخل دایره­‌ای به مرکز   است که در آن  تحلیلی است. علاوه بر آن با توجه به روش تعیین ضرایب بسط، نتیجه­ می­‌گیریم که یک چنین بسطی برای تابع منحصر­به ­فرد است، یعنی اگر بتوان به هر روشی یک چنین بسطی را برای تابع به­‌دست ­آورد، این بسط همان بسط­ تیلور  است و شعاع ­همگرایی سری برابر فاصله  تا نزدیک­‌ترین نقطه غیر­تحلیلی تابع است. همچنین چون بسط­ تیلور یک سری توانی است، بنابراین از آن می‌­توان در ناحیه همگرایی جمله ­به ­جملهمشتق یاانتگرال گرفت.

بسط­ تیلور توابع ­مقدماتی

به سادگی می‌­توان بسط ­تیلور توابع   و   را  به روش مستقیم محاسبه ­کرد:

چون این توابع فاقد نقطه غیر­تحلیلی هستند. پس شعاع همگرایی (یا اعتبار) هر دو بسط، بی‌­نهایت است. در جدول زیر بسط­‌های برخی از مهم­ ترین توابع، شعاع­ همگرایی و روش تعیین آن­ها به روش غیر­مستقیم بیان­ شده‌است.

 مثال6 )بسط­ تیلور توابع زیر را حول نقاط مشخص شده به‌دست‌آورده و قرص همگرایی هر یک را مشخص کنید.

الف-  حول .

با فرض   داریم:

چون تنها نقطه منفرد تابع    است، پس سری در قرص همگراست.

ب-   حول  .

با فرض  داریم:

چون تابع در کلیه نقاط تحلیلی است پس .

پ-   حول نقطه    .

با فرض  داریم:

شعاع ­همگرایی سری فوق  بوده و بسط در ناحیه   همگراست.

▄

6-5 بسط­‌لوران­ توابع و روش حل بسط تیلور توابع

بسط‌های تیلور توابع ما را قادر ­می‌­سازند تا بسط­‌هایسری­ توانی جانشین در همسایگی نقاطی که توابع در آن نقاط تحلیلی هستند، به ­دست­ می‌­آوریم. پس این بسط­ ها را نمی‌­توان برای توابعی چون  یا    در نقطه   نتیجه­ گرفت، چون این توابع در  تحلیلی نیستند. برای یک چنین توابعی بسط دیگری موسوم بهبسط ­لورانموجود­است که از توان­‌های منفی برای   استفاده­ می­‌کند. این بسط­‌ها که با توجه به ملاحظات زیر نتیجه ­می­‌شوند، به خصوص در مطالعه نقاط تکین توابع، که به یکی از نتایج اساسی توابع ­تحلیلی یعنی قضیهحساب­‌مانده­‌هامنجر می­‌گردد، مهم می­‌باشند.

یک سری به شکل  را می­‌توان به عنوان یک سری توای برحسب متغیر    در نظر­گرفت. اگر شعاع ­همگرایی این سری باشد، آنگاه سری برای یا   همگرای ­مطلق و برای واگراست. ترکیب یک سری به شکل فوق و یک سری توانی معمولی، یک سری به صورت را نتیجه­ می­‌دهد که شامل دو بخش است. 

بخش اول سری:   یک سری توانی است و فرض­ کنید در قرص همگراست.

بخش دوم سری:  است که یک سری ­توانی برحسب است و فرض­ کنید در ناحیه  همگراست. در این صورت برای ، سری  موسوم به سری لوران همگرا گردیده و در این ناحیه تحلیلی است.

مشابه آن، سری  در ناحیه    یک تابع تحلیلی است. ما یک چنین بسطی راسری­ لورانحول نقطه    می‌نامیم. می‌­توان نشان ­داد که یک تابع تحلیلی در  دارای بسط لوران در این ناحیه است.

معمولا در عمل، ضرایب بسط را مستقیما از روی انتگرال­ ها محاسبه­ نمی‌کنند بلکه با توجه به منحصر­به ­فرد بودن بسط از روش­ های غیر­مستقیم به تعیین ضرایب می‌­پردازند.

از بسط­‌های لوران به خصوص برای تعیین بسط توابع­ تحلیلیحول نقاط تکین تنهایی آن­‌هااستفاده­ می­‌شود. اگر  یک نقطه تکین تنها تابع ­تحلیل  باشد، بسط لوران  موجود و در حوزه    معتبر است که در آن برابر فاصله نقطه تا نزدیک­ترین نقطه تکین تابع  است.

 مثال7 )بسط­‌های لوران توابع زیر را در همسایگی نقطهتعیین­ کرده و دامنه همگرایی آن­‌ها را به­‌دست‌آورید.

الف-

چون بسط حول  برابر است، پس داریم:

تابع فوق در حلقه  همگراست، زیرا فاقد نقطه تکین دیگری به جز  است.

ب-

چون بسط حول  برابر  است، پس داریم:

▄

7-5 محاسبه انتگرال با استفاده از بسط لوران توابع

این واقعیت که ما این بسط‌­ها را بدون استفاده از نظریه عمومی ‌آن­ها محاسبه ­کردیم، بدین معنی است که می‌توانانتگرال‌های متناظر با ضرایب بسط را با مقایسه آن‌ها با مقادیر عددی ضرایبی که یافته‌ایم به‌دست‌آورد. به عنوان مثال، چون بسط لوران تابع   حول  برابر است با:

و ضرایب بسط ­لوران از فرمول محاسبه ­می‌­شود که در آن هر خم ساده بسته­‌ای در ناحیه اعتبار بسط است، پس نتیجه ­می‌­گیریم که برای :

ولی با توجه به بسط (1) ،  ضریب جمله  بوده و برابر عدداست، پس :

یا