فنی و مهندسی

آشنایی با دستگاه‌های مختصات، المان‌گیری، مشتق و انتگرال در فیزیک 2

تاریخ انتشار: 1 سال پیش
زمان مطالعه: 9 دقیقه
0 نفر دوست داشتن!
0 نفر نظر دادن
آشنایی با دستگاه‌های مختصات، المان‌گیری، مشتق و انتگرال در فیزیک 2

مرور ریاضیات مورد استفاده در درس فیزیک عمومی 2: دستگاه‌های مختصات،المان‌گیری، مشتق و انتگرال

المان‌گیری صحیح در دستگاه‌های مختصات مختلف برای حل بسیاری از مسائلفیزیک2 که در آن‌ها توزیع بار الکتریکی پیوسته وجود دارد امری ضروری است.

در این قسمت، سه مختصات مهم کارتزین، استوانه ای، کروی را بررسی میکنیم . در هر کدام از این مختصات ها 3 المان طولی ،سطحی و حجمی را بیان میکنیم که متناسب با مسائل باید ابتدا دستگاه مختصات را به درستی انتخاب کنید و سپس المان خود را انتخاب کنید.

مختصات دکارتی یا کارتزین:

متغیرهای این دستگاه مختصات که با آن می‌توان هر نقطه‌ی دلخواه از فضا را با آن توصیف کرد، با (x,y,z) نشان داده می‌شود.

مختصات دکارتی

  • المان طولی(مسیر): برای مسائلی که توزیع خطی دارد، مانند میله باردار مستقیم.

المان طولی در دکارتی

  • المان سطحی: برای مسائل توزیع سطحی، مانند سطوح یک مکعب یا مکعب مستطیل و سطوح مشابه.

المان سطحی در دکارتی

  • المان حجمی: برای حجم یک مکعب یا مکعب مستطیل.

المان حجمی در دکارتی

 

 

مختصات استوانه‌ای:

متغیرهای دستگاه مختصات استوانه‌ای که با آن می‌توان هر نقطه‌ی دلخواه از فضا را با آن توصیف کرد با (r,θ,z) نشان داده می شود. در برخی منابع متغیر ها را با (ρ,φ,z) نشان می‌دهند که هیچ تفاوتی ندارد.

نکته: دستگاه مختصات قطبی حالت خاص از دستگاه استوانه‌ای است، زمانی که بدنه استوانه را حذف نماییم. در این حالت متغیرهای فضایی به صورت (r,θ) درمی‌آیند.

مختصات استوانه‌ای

  • المان طولی(مسیر): برای مسائلی که توزیع خطی دارد مانند میله باردار قوس‌دار یا حلقه جریان و بار.

المان طولی در استوانه‌ای

  • المان سطحی: برای مسائل توزیع سطحی مانند یک دیسک (سطوح بالا و پایین استوانه) و پوسته استوانه‌ای با بار الکتریکی یا جریان(سطح جانبی یا بدنه استوانه).

المان سطحی در استوانه‌ای

المان سطحی در استوانه‌ای

  • المان حجمی: برای حجم یک استوانه‌ی توپر یا قاچی از یک استوانه.

المان حجمی در استوانه‌ای

 

 

 

مختصات کروی:

متغیرهای دستگاه مختصات کروی که با آن می‌توان هر نقطه دلخواه از فضا را با آن توصیف کرد با (r,θ,φ) نشان داده می‌شود.

دستگاه مختصات کروی

  • المان طولی(مسیر): برای مسائلی که توزیع خطی دارد (بسیار کم کاربرد!).

المان طولی در کروی

  • المان سطحی: برای مسائل توزیع سطحی مانند پوسته کروی یا پوسته نیم‌کره.

المان سطحی در کروی

المان سطحی در کروی

  • المان حجمی: برای یک کره توپر یا یک نیم‌کره توپر.

المان حجمی در کروی

گاهاً در برخی از مسائل ممکن است نیاز به تبدیلات از مختصات کروی به دکارتی یا بالعکس باشد. این کار توسط تبدیلات زیر انجام می‌شود.

تبدیل بین دستگاه های مختصات

 

 

مشتق‌های کاربردی درفیزیک 2 (سعی کنید این مشتق ها را به خاطر بسپارید)

مشتق‌های کاربردی

مشتق توابع کسری به صورت ذیل است:

مشتق توابع کسری

 

انتگرال‌های کاربردی درفیزیک 2

انتگرال‌های کاربردی برای فیزیک 2

انتگرال‌های چندگانه:

برای محاسبه مساحت انتگرال دوگانه لازم است و برای محاسبه یا جاروب حجم، انتگرال سه‌گانه. اما آنچه در این درس اهمیت دارد آن است که می‌توان در هر دو صورت انتگرال‌های چندگانه را به صورت ضرب ساده چند انتگرال یگانه نوشت.

انتگرال دوگانه:

جداسازی انتگرال دوگانه

انتگرال سه‌گانه:  

جداسازی انتگرال دوگانه

 برای آموزش بهتر این مبحث پیشنهاد ما این است که بخش ابتداییدوره‌ی فیزیک۲ لینوم رو مشاهده کنین یا میتوانین برای تسلط بیشتر بر این مباحث ریاضی ۱ ما رو هم مشاهده کنین.

 

0 نفر نظر دادن

نظرهای شما

نظر شما دربارۀ این مقاله چیه؟