6)نظریه حساب ­مانده­‌ها و روش حل مانده­‌ها

در اینآموزش کپسولی لینوم به یکی از مهم‌ترینروش­ های انتگرال­‌گیری در توابع­ مختلط، یعنی انتگرال­ ‌گیری با استفاده از بسط­‌های لوران توابع و قضیه حساب­ مانده­‌ها خواهیم ­پرداخت. سپس کاربرد این نظریه را در حل پاره‌ای از انتگرال­‌های حقیقی بررسی­ می‌­کنیم.

ابتدا مفاهیم صفر تابع و نقاط تکین یک تابع را مرور و گسترش ­می­‌دهیم.

1-6 صفر­های توابع و مرتبه آن­‌ها

نقطه را که در آن ، یکصفر­تابع می­‌خوانیم. صفر یک تابع تحلیلی را ازمرتبه نامیم اگر، ولی مشتق  اُم آن  باشد.

 مثال 1)صفر­های تابع را تعیین­ کرده و مرتبه آن‌­­ها را بیابید.

حل: وقتی   یک عدد صحیح باشد،    است. درداریم:

پس  یک صفر مرتبه سوم تابع است.

این نتیجه را همچنین می­‌توانستیم از بسط مک-لورن نیز به­ دست‌­آوریم.

درسایر صفر­های   برایصحیح غیر­صفر، داریم ولی  ، پس سایر صفر­های تابع از مرتبه یک هستند.

می­‌توان نشان‌­داد که اگر، صفر یک تابع تحلیلی باشد، آن‌گاه همسایگی از موجود­است که در آن همسایگی تابع دارای صفر دیگری نیست. به­ عبارت­ دیگر:

به سادگی می­‌توان بررسی­ کرد که کلیه صفر­های توابع ، ،،  و  از مرتبه یک هستند. همچنینبرایطبیعی، دارای صفری در نقطه  از مرتبه  است. اگر صفر مشترک توابع  و به ترتیب از مرتبه­‌های و برای باشد، آنگاه  صفر تابع:

1-   از مرتبه است. ( و مخالف صفر)

2-   از مرتبه  است.

با استفاده از این خواص می ­توان با روش سریع­‌تری مرتبه صفر­های توابع را تعیین ­کرد.

2-6 نقاط تکین توابع و انواع آن‌­ها

نقطه را یک نقطه تکین تابع نامیم اگر در تحلیلی نبوده ولی هر همسایگی از آن شامل نقطه‌­ای باشد که تابع در آن نقطه تحلیلی است. نقطه تکین  راتنهانامیم اگر همسایگی از  موجود باشد که  در آن همسایگی شامل نقطه تکین دیگری نگردد. می‌­دانیم که اگر  یک نقطه تکین تنهای تابع باشد، آنگاه  دارای بسط لوران حول  بوده و این بسط جانشین  در ناحیه بین دو دایره است که شعاع خارجی آن برابر فاصله   از نزدیک­‌ترین نقطه تکین و شعاع داخلی آن به اندازه دلخواه کوچک است.

اگر بسط لوران  در همسایگی از نقطه تکین تنهای  فقط شامل تعدادی متناهی توان‌­های منفی از  باشد، آنگاه نقطه  را یکقطب می­‌نامیم. اگر بزرگ‌ترین جمله شامل توان منفی موجود در بسط باشد، قطب را ازمرتبهخوانده و حاصل­ جمع تمام جملات شامل توان‌­های منفی یعنی   رابخش اصلی در  می‌­نامیم.

اگر بسط لوران   در هر همسایگی از نقطه تکین تنهای شامل تعداد بی­ شماری جمله از توان­‌های منفی باشد، آنگاه  را یکنقطه تکین اساسی یا قطب از مرتبه بی‌­نهایت می‌­نامیم. همچنین اگر بسط لوران در نقطه تکین تنهای  فاقد جمله‌­ای با توان منفی از باشد، آنگاه  را یکنقطه تکین برطرف­‌شدنی یا قطب از مرتبه صفرتابع می­‌خوانیم.

دو روش دیگر تعیین نوع نقطه تکین و مرتبه قطب در نقطه تکین تنهای برای تابع به جز استفاده از بسط لوران تابع در نقطه ، به قرار زیر است:

روش اول:   را برای به ترتیب محاسبه­ می‌­کنیم تا زمانی که برای اولین بار مقداری متناهی برای حد نتیجه ­شود. اولین مقداری از  که به ازای آن حد فوق متناهی می‌­شود، مرتبه قطب است. اگر یک نقطه تکین اساسی باشد، در این صورت حد برای هیچ مقدارمتناهی نمی‌­گردد.

روش دوم: مراجعه به مرتبه صفر صورت و مخرج در. مرتبه قطب برابر تفاضل مرتبه صفر صورت از مرتبه صفر مخرج است. قطب مرتبه اول راقطب ساده نیز می‌نامند. نقاط تکین برطرف شدنی یا اساسی را به ترتیب قطب‌های تابع از مرتبه‌‌های صفر و بی‌‌نهایت نیز می‌‌خوانند.

توجه­ کنید که چون صفر­های توابع تحلیلی تنها هستند لذا وقتی این صفر­ها در مخرج کسر­ها واقع شوند، نقاط تکین تنها را نتیجه ­می‌­دهند. به عنوان مثال تابع  دارای بی‌­نهایت نقطه تکین تنها در  برای  است که چون صفر­های مرتبه اول تابع می ­باشند، پس قطب­‌های مرتبه اولهستند.

 مثال2 )نقاط تکین توابع زیر را تعیین­ کنید.

الف-

حل:تابع دارای نقاط تکین در و   است.   صفر مخرج از مرتبه دو و صفر صورت از مرتبه یک است، پس   یک قطب ساده است. همچنین  نیز قطب­‌های ساده  می‌­باشند.

ب-

حل:نقاط تکین ،    و   برای کلیه  ها صحیح است.   صفر­های مخرج از مرتبه یک و همچنین صفر­هایاز مرتبه یک هستند، پس هردو نقاط قطب ­های برطرف‌­شدنی اند.    نیز صفر مشترک   و است. پس این نقطه نیز قطب برطرف‌­شدنی است.  صفر مشترک صورت و مخرج بوده و یک قطب برطرف‌­شدنی است. سایر نقاط تکین تابع یعنی برای  های صحیح غیر­صفر و یک، قطب­‌های ساده این تابع می­‌باشند.

3-6 قضیه حساب­ مانده‌­ها

در فصل قبل دیدیم که ضریب  ، یعنی  ، در بسط لوران تابع  در همسایگی از نقطه تکین تنهای  دارای اهمیت شایانی است، زیر که مقدار انتگرال  به آن بستگی دارد؛ یعنی برای هر خم ساده بستهدر ناحیه همگرایی بسط داریم:

 ، ضریب جمله   رامانده در نقطه  نامیده و آن را با     ،   و یا   نمایش­‌می­‌دهند. مفهوم فوق را می­توان به سادگی  برای انتگرال­‌گیری حول خم­‌هایی که شامل چند نقطه تکین تنها هستند، گسترش ­داد.

 مثال 3)مقدار مانده تابع زیر را حول نقطه   مشخص­ کنید.

حل:

مقدار مانده برابر ضریب جمله  است، با جمع­ آوری این جملات داریم:

روش محاسبه مانده‌­ها با استفاده از بسط­‌های لوران خسته‌­کننده و طولانی است. روش ساده­‌تر تعیین مانده در قطب­‌های متناهی با توجه به ملاحظات زیر نتیجه­ می‌­شود:

فرض­ کنید  یک قطب مرتبه اول تابع  باشد، یعنی:

با ضرب طرفین در  و سپس میل ­دادن  نتیجه ­می‌­گیریم:

استفاده از فرمول فوق در تعیین مقدار مانده تابع   در قطب ساده ، با فرض، نتیجه­ ساده زیر را به­ دست­ می‌­دهد.

در محاسبه حد اول از قاعده هوپیتال استفاده ­شده‌­است، پس داریم:

اگر  دارای قطب مرتبه دوم باشد، آنگاه :

با ضرب طرفین در ومشتق­‌گیری نسبت به  و سپس میل­‌دادن   این بار داریم:

با استفاده از روشی مشابه، نتیجه ­می‌­گیریم که اگر  دارای قطب مرتبه  در نقطه  باشد، آنگاه مانده   در   برابر است با:

به دلیل طولانی بودن محاسبات، فرمول فوق برای تعیین مانده در قطب‌­های مرتبه دوم به بالا توصیه‌­نمی‌­شود مگر آنکه قطب­‌ها صفر­های یک چندجمله‌­ای در مخرج   باشند. به هرحال به فرض استفاده از فرمول فوق بهتر است که مانند مثال زیر (قسمت الف) از بسط­‌های توابع استفاده­‌گردد. در هر صورت برای تعیین مانده در قطب­‌های اساسی تنها روش، استفاده از بسط لوران توابع است. همچنین توجه­ کنید که مقدار مانده در قطب­‌های برطرف­‌شدنی برابر صفر است.

 مثال4 )مانده توابع زیر را در نقاط مشخص‌­شده تعیین ­کنید.

الف-

حل-چون ، پس  صفر مرتبه دوم تابع بوده و بنابراین قطب مرتبه دوم است و داریم:

ب- 

حل-چون  ، پس صفر مرتبه اول مخرج یا قطب ساده   است و با استفاده از فرمول(1) داریم:

اگر در عوض از فرمول (2) استفاده­ می‌­کردیم، آنگاه نتیجه سریع‌­تر به­‌دست­‌می‌­آمد:

 مثال5 )انتگرال  را حول مسیر مشخص­ شده مناسب محاسبه­ کنید.

حل-تابع   دارای دو نقطه تکین   و    در داخل ناحیه است.

  قطب اساسی و   قطب ساده  می­‌باشند، پس چون بسط لوران تابع در  برابر است با:

پس مقدار مانده در این نقطه برابر است.

در قطب ساده  داریم:

بنابراین مقدار انتگرال برابر است با:

4-6 کاربرد انتگرال­‌های مختلط در محاسبه انتگرال­های حقیقی

در این بخش از آموزش ریاضی مهندسیلینوم، به کاربردهای انتگرال می‌پردازیم. برخی از انتگرال­‌های حقیقی را می‌­توان با انتخاب تابع مناسب  روی مسیر مناسب محاسبه ­نمود. در این بخش می‌­خواهیم به بیان چند روش مفید برای محاسبه پاره­‌ای انتگرال­‌های معین حقیقی با استفاده از حساب مانده­‌ها بپردازیم.

1) 

 تابعی گویا از  و  است که برای کلیه مقادیر تعریف­ شده­‌است. برای حل این‌گونه انتگرال‌­ها در نظر­می‌­گیریم.   و    ، همچنین چون ، پس   dθ=dziz، چون با تغییر  ، دایره واحد را می­‌پیماید، پس داریم:

 مثال6 )  را محاسبه ­کنید.

حل-چون در فواصل   و دارای مقادیر یکسانی است، پس با استفاده از تغییر متغییر  داریم:

نقاط تکین تابع  برابر  است و قطب ساده  در داخل دایره قرار­دارد، پس:

روش دیگر-اگر نقاط تکین تابع را   و  در نظر­بگیریم، آنگاه    و .  فرض­ کنید  نقطه تکین داخل دایره واحد باشد، در اینصورت:

اما    ، پس دوباره  .

در سایر انتگرال‌­های این بخش باید تابع و مسیر به طریقی مناسب چنان انتخاب­ گردند که پس از محاسبه، انتگرال مورد­نظر پدید آید.

2) 

   کسری گویاست که برای کلیه مقادیر حقیقی تعریف­ شده­‌است و درجه چند جمله­‌ای مخرج آن حداقل دو واحد از درجه چند­جمله­‌ای صورت بیشتر است ( این شرط برای همگرایی انتگرال­‌ها کافی است).در این صورت داریم:

 مثال7)مقدار را حساب­ کنید.

حل-مانده­‌های واقع در بالای محور حقیقی تابع  ، برابر  و است که هر دو قطب‌­های ساده­ اند. چون:

بنابراین مقدار انتگرال برابر است:

اگرانتگرال‌گیری را فراموش کرده‌بودید، می‌توانیدکپسول آموزش انتگرال‌گیری را ببینید.