فنی و مهندسی

نگاشت مختلط در ریاضی مهندسی

تاریخ انتشار: 1 سال پیش
زمان مطالعه: 10 دقیقه
0 نفر دوست داشتن!
0 نفر نظر دادن
نگاشت مختلط در ریاضی مهندسی

7) نگاشت‌­های مختلط و روش حل نگاشت‌­های مختلط مهم

تا این جا بااعداد مختلط آشنا شدیم. در اینآموزش کپسولی لینوم، به سراغ یادگیری نگاشت های مختلط می‌رویم.

برخلاف توابع حقیقی یک متغییره که دارای نمایش هندسی واقع در یک صفحه هستند، برای بررسی نمایش هندسیتوابع مختلط نیاز به دو صفحه داریم. صفحهکه مقادیر در دامنه تعریف تابع را در آن مشخص می­‌کنیم و صفحه که مقادیر تابع در آن تصویر می‌­گردد. با این روش تابع  به نقطه  واقع در دامنه تعریف خود، نقطه واقع در صفحهرا تخصیص می­دهند. در این صورت گوییم  یکنگاشت از به صفحه تعریف­می­کند. برای هر نقطه  در ،  راتصویریانقشیاتبدیل‌­یافته توسط نگاشت می‌­نامند.

چون با مشخص­ کردن نقش چند نقطه نمی‌­توان اطلاعات چندانی درباره طرز عمل و خواص اصلی یک تابع به­‌دست آورد، به این منظور سعی ­‌می­‌کنیم نقش نواحی یا خانواده­‌ای از خم­‌های ساده (معمولا یک دسته خطوط موازی یا دوایر هم مرکز) را مطالعه­ کنیم. با این روش می­‌توانیم طبیعت مهندسیتوابع­ مختلط را با توجه به ویژگی­‌های آن‌­ها در انتقال خم‌­ها و نواحی معینی از صفحه    مشاهده ­کنیم. در این فصل با خاصیت مهمی موسوم به خاصیتهمدیسی( ثابت نگاه­ داشتن اندازه و جهت زوایای بین خم­‌ها پس از انتقال) مطالعه­ می­‌کنیم.

روش معمول برای مطالعه یک نگاشت، بررسی چگونگی انتقال یک دسته منحنی خاص توسط تابع است. برای تعیین نقش خم هموار برای توسط نگاشت ، کافی است شکل پارامتری خم  را در تابع جانشین­ کنیم تا منحنی تصویر آن به صورت  برای   نتیجه­ شود.

 مثال1 )نقش دایره را توسط نگاشت  تعیین­ کنید.

حل:شکل پارامتری دایره به صورت برای  است، پس داریم:

            

               

پس تصویر دایره، منحنی و برای واقع در صفحه است، این منحنی نمایش بیضی افقی  است.

به طور کلی هر تابع­ مختلط چون  را می­‌توان به عنوانتبدیلی از فضای دو­بعدی به فضای دو­بعدی      ملاحظه­ کرد که با زوج تبدیل زیر تعریف­ می­‌شود :

شرط لازم و کافی برای اینکه این تبدیل، یک ناحیه با مساحت غیر­صفر را به ناحیه دیگری با مساحت غیر­صفر تصویر کند آن است که   موسوم بهژاکوبیتبدیل مخالف صفر باشد.

اگر  یک تابع تحلیلی در ناحیه باشد، این شرط معادل با این است که  :

باشد، یعنی باید  در کلیه نقاط ناحیه مخالف صفر باشد.

اگر مشتق تابع تحلیلی در حوزه از صفحه مخالف صفر باشد در اینصورت در حوزههمدیساست. به عبارت دیگر اندازه و جهت زاویه بین هردو خم متقاطع در را پس از انتقال به صفحه حفظ می­‌کند. برای مشاهده این خاصیت فرض­ کنید نقطه‌­ای در  روی خم بوده و تصویر خم توسط نگاشت  باشد. اگر  و  بهترتیب نمونه­‌هایکوچکی از دو منحنی و در و  باشند، آنگاه چون ، داریم:

که در آنبرای همه خم‌­های گذرنده از نقطه ثابت است.

حال اگر خم­‌های و  در نقطه  یکدیگر را تحت زاویه  قطع­ کنند، یعنی  که در آن و  به ترتیبنمونه‌های متناظر با دو خم در نقطه  می‌باشند، آنگاه تصاویر آن‌­ها،   و ، نیز تحت زاویه یکدیگر را در نقطه   قطع­ خواهند­کرد، زیرا اگر و   نمو­نه‌های متناظر با این دو خم در       باشند، آنگاه:

به عبارتی دیگر می‌­توان­ گفت:

قضیه-نگاشتی که توسط تابع تحلیلی در حوزه تعریف ­می­‌شود، در هر نقطه  در  که برای آن‌ها  ، یک نگاشت همدیس است.

نگاشت­‌های همدیس در ریاضیات‌­مهندسی نقش مهمی برعهده­ دارند. با استفاده از آن­ها می­‌توان روشی موثر برای حل مسائل مقدار مرزی دوبعدی در نظریه پتانسیل، با تبدیل نواحی پیچیده به نواحی ساده‌تر­، بنا­کرد. در زیر به بررسی مهم­‌ترین نگاشت­­‌های مختلط می­‌پردازیم.

1-7 تعریف نگاشت نمایی و روش حل آن

ما به طور معمول توابع­ مختلط را به گونه‌­ای تعریف­ می­‌کنیم که 1) تحلیلی بوده  و    2) با جایگذاری     به همان تعریف آنالیز حقیقی برسیم. در اینجا، علاوه بر دو شرط بالا، دو شرط زیر را نیز انتخاب­ می‌کنیم:

حال با این فرضیات رابطه اویلر را ثابت کرده وتابع مختلطرا به‌­دست­‌می­‌آوریم:

        

 

 

حال که تابع­ نمایی مختلط تعریف ­شد، می­‌خواهیم­ ببینیم نگاشت آن به چه صورتی عمل ­می‌­کند:

حال می­‌توان کنترل­ کرد که تابع­ تحلیلی بوده و مشتق آن با خودش برابر است.

تابع فوق همواره همدیس است. زیرا همه جا تحلیلی­ بوده ونیز در هیچ نقطه­‌ای مشتق آن صفر نیست. زیرا :

 مثال2 ) تبدیل ­یافته ناحیهرا تحت نگاشت بیابید.

حل:

 

2-7 تعریف نگاشت توانی و روش حل آن

دقت­ شود که بایستی نوشته­ شود. اما از آنجا که با این انتخابتغییری­ نمی‌­کند و صرفا به همان نقطه می‌­رود (زیرا می­‌باشد) ، لذا آن را به صورت   نوشته‌ایم. می­‌توان دو سمت رابطه را به فرمدکارتی(جمعی) نیز بیان­‌کرد. در این‌صورت:

تابع همه جا تحلیلی است و چون صرفا در مبدامشتق صفر است لذا همه جا به جز مبدا همدیس است.

 مثال3 )تبدیل­ یافته یک نقطه تحت نگاشترا ترسیم ­کرده، نشان­ دهید این نگاشت یک­‌به­‌یک نیست.

که در شکل زیر تبدیل‌­یافته آن دیده­ می‌­شود. همچنین به سادگی می‌­توان دید دونقطه قرینه نشان­ داده‌­شده در شکل زیر یعنی و هردو به می­‌روند، لذا یک‌­به‌­یک نیست.

بنابراین هردونقطه و به یک نقطه نگاشت­ می‌­شوند. برای یک‌­به­‌یک ­شدن تابع، بایستی قسمتی از ناحیه را انتخاب­ کرد. در شکل سمت راست ناحیه­‌ای را که در آن تابع یک‌به‌یک  است نشان­داده­ شده­‌است. به طریق مشابه نگاشت تبدیلی به یک خواهد­بود.

 3-7 تعریف نگاشت شوارتز کریستوفل و روش حل آن

فرض­‌کنید یک چند­ضلعی درصفحه  با رئوس و زوایای داخلی متناظر ، که در آن  باشد. همچنین فرض­‌کنید     نقاطی متمایز بر محور حقیقی در صفحه باشند. در اینصورت نگاشتی یک‌­به‌­یک و همدیس موسوم به نگاشتشوارتز کریستوفلبه صورت می­‌توان تعیین­ کرد به طوری که ناحیه     را به نحوی بر ناحیه  بنگارد که برای     داشته­‌باشیم  . این نگاشت به صورت:

و یا

تعریف ­می‌­شود که در آن   و  اعداد ثابت مناسبی می­‌باشند با توجه به اندازه و موقعیت تعیین ­می­‌گردند. دو نقطه از مجموعه نقاط را می‌­توان به دلخواه انتخاب­ کرد.

4-7 تعریف نگاشت یاکوفسکی و روش حل آن

 

مشتق در صفر است. لذا تابع فوق به جز در همواره همدیس است.

 مثال4 )تبدیل‌­یافته دایره را تحت نگاشت یاکوفسکی بیابید.

که یک بیضی است. در حالت خاص، دایره به پاره­‌خط تبدیل­ می­‌شود.

می­‌توان نشان­ داد تحت نگاشت کلی‌­تر خواهیم‌­داشت:

دیده­ می­‌شود که نگاشت  همدیس نیست و زوایا 2 برابر شده‌­اند؛ زیرا این نقاط ریشه ساده مشتق نگاشت می‌­باشند ، لذا زوایا در این نقاط   برابر می‌­شوند.


اگر مشتق‌‌گیری را فراموش کرده‌بودید، می‌توانید کپسول آموزش مشتق‌‌گیری را ببینید.

0 نفر نظر دادن

نظرهای شما

نظر شما دربارۀ این مقاله چیه؟