نگاشت مختلط در ریاضی مهندسی

7) نگاشت‌های مختلط و روش حل نگاشت‌های مختلط مهم

تا این جا بااعداد مختلط آشنا شدیم. در اینآموزش کپسولی لینوم، به سراغ یادگیری نگاشت های مختلط می‌رویم.

برخلاف توابع حقیقی یک متغییره که دارای نمایش هندسی واقع در یک صفحه هستند، برای بررسی نمایش هندسیتوابع مختلط نیاز به دو صفحه داریم. صفحهکه مقادیر در دامنه تعریف تابع را در آن مشخص می‌کنیم و صفحه که مقادیر تابع در آن تصویر می‌گردد. با این روش تابع به نقطه واقع در دامنه تعریف خود، نقطه واقع در صفحهرا تخصیص میدهند. در این صورت گوییم یکنگاشت از به صفحه تعریفمیکند. برای هر نقطه در ، راتصویریانقشیاتبدیل‌یافته توسط نگاشت می‌نامند.

چون با مشخص کردن نقش چند نقطه نمی‌توان اطلاعات چندانی درباره طرز عمل و خواص اصلی یک تابع به‌دست آورد، به این منظور سعی ‌می‌کنیم نقش نواحی یا خانواده‌ای از خم‌های ساده (معمولا یک دسته خطوط موازی یا دوایر هم مرکز) را مطالعه کنیم. با این روش می‌توانیم طبیعت مهندسیتوابع مختلط را با توجه به ویژگی‌های آن‌ها در انتقال خم‌ها و نواحی معینی از صفحه مشاهده کنیم. در این فصل با خاصیت مهمی موسوم به خاصیتهمدیسی( ثابت نگاه داشتن اندازه و جهت زوایای بین خم‌ها پس از انتقال) مطالعه می‌کنیم.

روش معمول برای مطالعه یک نگاشت، بررسی چگونگی انتقال یک دسته منحنی خاص توسط تابع است. برای تعیین نقش خم هموار برای توسط نگاشت ، کافی است شکل پارامتری خم را در تابع جانشین کنیم تا منحنی تصویر آن به صورت برای نتیجه شود.

مثال1 )نقش دایره را توسط نگاشت تعیین کنید.

حل:شکل پارامتری دایره به صورت برای است، پس داریم:

پس تصویر دایره، منحنی و برای واقع در صفحه است، این منحنی نمایش بیضی افقی است.

▄

به طور کلی هر تابع مختلط چون را می‌توان به عنوانتبدیلی از فضای دوبعدی به فضای دوبعدی ملاحظه کرد که با زوج تبدیل زیر تعریف می‌شود :

شرط لازم و کافی برای اینکه این تبدیل، یک ناحیه با مساحت غیرصفر را به ناحیه دیگری با مساحت غیرصفر تصویر کند آن است که موسوم بهژاکوبیتبدیل مخالف صفر باشد.

اگر یک تابع تحلیلی در ناحیه باشد، این شرط معادل با این است که :

باشد، یعنی باید در کلیه نقاط ناحیه مخالف صفر باشد.

اگر مشتق تابع تحلیلی در حوزه از صفحه مخالف صفر باشد در اینصورت در حوزههمدیساست. به عبارت دیگر اندازه و جهت زاویه بین هردو خم متقاطع در را پس از انتقال به صفحه حفظ می‌کند. برای مشاهده این خاصیت فرض کنید نقطه‌ای در روی خم بوده و تصویر خم توسط نگاشت باشد. اگر و بهترتیب نمونه‌هایکوچکی از دو منحنی و در و باشند، آنگاه چون ، داریم:

که در آنبرای همه خم‌های گذرنده از نقطه ثابت است.

حال اگر خم‌های و در نقطه یکدیگر را تحت زاویه قطع کنند، یعنی که در آن و به ترتیبنمونه‌های متناظر با دو خم در نقطه می‌باشند، آنگاه تصاویر آن‌ها، و ، نیز تحت زاویه یکدیگر را در نقطه قطع خواهندکرد، زیرا اگر و نمونه‌های متناظر با این دو خم در باشند، آنگاه:

به عبارتی دیگر می‌توان گفت:

قضیه-نگاشتی که توسط تابع تحلیلی در حوزه تعریف می‌شود، در هر نقطه در که برای آن‌ها ، یک نگاشت همدیس است.

نگاشت‌های همدیس در ریاضیات‌مهندسی نقش مهمی برعهده دارند. با استفاده از آنها می‌توان روشی موثر برای حل مسائل مقدار مرزی دوبعدی در نظریه پتانسیل، با تبدیل نواحی پیچیده به نواحی ساده‌تر، بناکرد. در زیر به بررسی مهم‌ترین نگاشت‌های مختلط می‌پردازیم.

1-7 تعریف نگاشت نمایی و روش حل آن

ما به طور معمول توابع مختلط را به گونه‌ای تعریف می‌کنیم که 1) تحلیلی بوده و 2) با جایگذاری به همان تعریف آنالیز حقیقی برسیم. در اینجا، علاوه بر دو شرط بالا، دو شرط زیر را نیز انتخاب می‌کنیم:

حال با این فرضیات رابطه اویلر را ثابت کرده وتابع مختلطرا به‌دست‌می‌آوریم:

حال که تابع نمایی مختلط تعریف شد، می‌خواهیم ببینیم نگاشت آن به چه صورتی عمل می‌کند:

حال می‌توان کنترل کرد که تابع تحلیلی بوده و مشتق آن با خودش برابر است.

تابع فوق همواره همدیس است. زیرا همه جا تحلیلی بوده ونیز در هیچ نقطه‌ای مشتق آن صفر نیست. زیرا :

مثال2 ) تبدیل یافته ناحیهرا تحت نگاشت بیابید.

حل:

2-7 تعریف نگاشت توانی و روش حل آن

دقت شود که بایستی نوشته شود. اما از آنجا که با این انتخابتغییری نمی‌کند و صرفا به همان نقطه می‌رود (زیرا می‌باشد) ، لذا آن را به صورت نوشته‌ایم. می‌توان دو سمت رابطه را به فرمدکارتی(جمعی) نیز بیان‌کرد. در این‌صورت:

تابع همه جا تحلیلی است و چون صرفا در مبدامشتق صفر است لذا همه جا به جز مبدا همدیس است.

مثال3 )تبدیل یافته یک نقطه تحت نگاشترا ترسیم کرده، نشان دهید این نگاشت یک‌به‌یک نیست.

که در شکل زیر تبدیل‌یافته آن دیده می‌شود. همچنین به سادگی می‌توان دید دونقطه قرینه نشان داده‌شده در شکل زیر یعنی و هردو به می‌روند، لذا یک‌به‌یک نیست.

بنابراین هردونقطه و به یک نقطه نگاشت می‌شوند. برای یک‌به‌یک شدن تابع، بایستی قسمتی از ناحیه را انتخاب کرد. در شکل سمت راست ناحیه‌ای را که در آن تابع یک‌به‌یک است نشانداده شده‌است. به طریق مشابه نگاشت تبدیلی به یک خواهدبود.

3-7 تعریف نگاشت شوارتز کریستوفل و روش حل آن

فرض‌کنید یک چندضلعی درصفحه با رئوس و زوایای داخلی متناظر ، که در آن باشد. همچنین فرض‌کنید نقاطی متمایز بر محور حقیقی در صفحه باشند. در اینصورت نگاشتی یک‌به‌یک و همدیس موسوم به نگاشتشوارتز کریستوفلبه صورت می‌توان تعیین کرد به طوری که ناحیه را به نحوی بر ناحیه بنگارد که برای داشته‌باشیم . این نگاشت به صورت: