اعداد مختلط در ریاضی مهندسی

1) معرفی اعداد مختلط و ویژگی‌های‌اعداد مختلط

در اینآموزش کپسولی لینوم به سراغ یادگیریاعداد مختلط می‌رویم.

در حل معادله درجه‌دوم داریم :

می‌بینید که در جواب‌های این معادله درجه‌دوم عامل ظاهر می‌شود که در مجموعه اعدادحقیقی تعریف شده‌است اما به هرحال جزئی از جواب این معادله می‌باشد.

در تئوری اعدادمختلط دانشمندان عامل را به عنوان یک عدد موهومی محض پذیرفتند و با نماد نشان دادند.

مجموعه اعدادمختلط ، که آن را با حرف C(Complex ) نمایش می‌دهیم، شامل کلیه اعدادی به شکل است که در آن و اعداد حقیقی بوده و، واحد مختلط، دارای خاصیت است.

عدد بخش حقیقی و عدد بخش موهومی نامیده می‌شوند و می‌نویسیم :

اگر ، آنگاه عدد یک عدد موهومی محض و اگر ، آنگاه عدد یک عدد حقیقی محض نامیده می‌شوند. مثلا عدد یک عدد موهومی محض و عدد-5 یک عدد حقیقی محض است.

برای نمایش اعدادمختلط، ما از صفحه مختلط استفاده می‌کنیم. عدد به صورت هندسی به عنوان نقطه ای به مختصات در صفحه دکارتی تعبیر می‌شود. محورها را محور حقیقی و محور ها رامحور موهومی می‌نامند.

مبدا مختصات متناظر با عدد مختلط صفر است.

تساوی دو عدد مختلط

اگر و ، آنگاه شرط لازم و کافی برای تساوی و این است که داشته‌باشیم و . از این نتیجه در حل معادلات شامل متغییرهای مختلط استفاده می‌شود. در حل این معادلات کافی است که بخش‌های حقیقی و موهومی دو طرف تساوی را برابر یکدیگر قراردهیم تا جواب‌های معادله نتیجه گردد.

مثال) معادله را حل کنید.

حل: با برابر قرار دادن بخش‌های حقیقی و موهومی دوطرف معادله داریم:

چون ، بنابراین جواب‌های معادله برابر ومی‌باشند.

شکل قطبی اعدادمختلط

به دلیل طبیعت دوبعدیاعدادمختلط ، برای نمایش عددمختلط در صفحه می‌توانیم از مختصات قطبی و استفاده کنیم، اگر و ، آنگاه برای داریم :

را قدرمطلق عددمختلط نامیده و داریم :

از نظر هندسی هم، فاصله از مبدا مختصات می‌باشد. (بنابراین می‌توان گفت هم فاصله بین و است.)

در این تعریف را آرگومان نامیده و با نماد نمایش می‌دهیم و داریم :

از نظر هندسی هم زاویه جهت‌دار بین جهت مثبت محور و است. (شکل بالا)
نکته:عدد مختلط رابه صورت یا (فرم اویلری اعدادمختلط) نیز نشان می‌دهند.

اعمال روی اعدادمختلط

اعمال جبری روی اعداد مختلط به صورت زیر تعریف می‌شوند :

1- حاصل‌جمع:

2- تفاضل:

3- حاصل‌ضرب:

در اینجا از خاصیت استفاده شدهاست.

4- خارج‌قسمت:برای تقسیم بر عدد غیرصفر کافی است، صورت و مخرج را در ضرب نماییم.

مثال)اگر و ، آنگاه :

5- توان :اگر ، آنگاه به سادگی می‌توان نشان داد که برای هر عدد طبیعی :

همچنین همواره داریم:

چون ، پس با فرض نتیجه می‌گیریم و یا به عبارتی دیگر :

این اتحاد به فرمول دموآور معروف است.

مثال) با استفاده از فرمول دموآور بسط‌هایرا به‌دست‌آورید.

حل: کافی است در فرمول دموآور قرار دهیم ، پس :

با توان رساندن عبارت سمت چپ و برابر قراردادن بخش‌های حقیقی و موهومی نتیجه می‌گیریم :

6- ریشه :برای تعیین ریشه ام یک عددمختلط غیرصفر ، ضروری است که ابتدا شکل قطبی به صورت را تعیین کرده و سپس ریشه ها را از فرمول زیر محاسبه می‌کنیم :

توجه کنید که برای مقادیر مختلف ، ریشه‌های مختلف نتیجه می‌گردند و چون برای مجموعهای از n عدد متمایز حاصل می‌شوند که برای سایر مقادیر نیز همین مقادیر تکرار می‌گردند ، این مقدار متمایز را ، ریشه می‌نامند. ریشه متناظر با آرگومان اصلی () را ریشه اصلی می‌خوانند. این ریشه روی دایره‌ای به شعاع و به فواصل مساوی از یکدیگر واقع هستنند.