فنی و مهندسی

اعداد مختلط در ریاضی مهندسی

تاریخ انتشار: 1 سال پیش
زمان مطالعه: 8 دقیقه
1 نفر دوست داشته!
0 نفر نظر دادن
اعداد مختلط در ریاضی مهندسی

1) معرفی اعداد مختلط و ویژگی­‌های­‌اعداد مختلط

در اینآموزش کپسولی لینوم به سراغ یادگیریاعداد مختلط می‌رویم.

در حل معادله درجه‌­دوم داریم :

می‌­بینید که در جواب­‌های این معادله درجه­‌دوم عامل ظاهر می‌­شود که در مجموعه اعداد­­حقیقی تعریف شده­‌است اما به هرحال جزئی از جواب این معادله می‌­باشد.

در تئوری اعداد­مختلط دانشمندان عامل   را به عنوان یک­ عدد موهومی محض پذیرفتند و با نماد  نشان­ دادند.

مجموعه اعداد­مختلط ، که آن را با حرف  C(Complex ) نمایش می‌­دهیم­، شامل کلیه اعدادی به شکل است که در آن  و اعداد حقیقی بوده و، واحد­ مختلط، دارای خاصیت  است.

عدد بخش حقیقی و عدد بخش موهومی نامیده ­می‌­شوند و می­‌نویسیم :

اگر ، آنگاه عدد  یک عدد موهومی محض و اگر ، آنگاه عدد  یک عدد حقیقی محض نامیده می‌­شوند. مثلا عدد  یک عدد موهومی محض و عدد-5 یک عدد حقیقی محض است.

برای نمایش اعداد­مختلط، ما از صفحه مختلط استفاده می‌­کنیم. عدد به صورت هندسی به عنوان نقطه ای به مختصات در صفحه دکارتی تعبیر می‌­شود. محورها را محور حقیقی و محور ها رامحور موهومی می‌­نامند. 

مبدا مختصات متناظر با عدد مختلط صفر است.             

                                   

تساوی دو عدد مختلط

اگر   و ، آنگاه شرط لازم و کافی برای تساوی  و این است که داشته‌­باشیم   و  . از این نتیجه در حل معادلات شامل متغییرهای مختلط استفاده می‌­شود. در حل این معادلات کافی است که بخش­‌های حقیقی و موهومی دو طرف تساوی را برابر یکدیگر قرار­دهیم تا جواب­‌های معادله نتیجه گردد.

   مثال) معادله را حل کنید.

حل: با برابر قرار دادن بخش­‌های حقیقی و موهومی دو­طرف معادله داریم:

چون  ، بنابراین جواب­‌های معادله برابر  ومی‌­باشند.

 

شکل قطبی اعداد­مختلط

به دلیل طبیعت دوبعدیاعداد­مختلط ، برای نمایش عددمختلط در صفحه می­‌توانیم از مختصات قطبی   و   استفاده کنیم، اگر  و   ، آنگاه    برای  داریم :

 را قدر­مطلق عدد­مختلط نامیده و داریم :

از نظر هندسی هم،  فاصله از مبدا مختصات می­‌باشد. (بنابراین می­‌توان گفت  هم فاصله بین و است.)

در این تعریف  را آرگومان  نامیده و با نماد    نمایش ­می‌­­دهیم و داریم :

از نظر هندسی هم زاویه جهت‌­دار بین جهت مثبت محور  و   است. (شکل بالا)
نکته:عدد مختلط رابه صورت  یا  (فرم اویلری اعداد­مختلط) نیز نشان­ می­‌دهند.

 

اعمال روی اعداد­مختلط

اعمال جبری روی اعداد مختلط به صورت زیر تعریف می­‌شوند :

1- حاصل­‌جمع:                                                

2- تفاضل:                                                    

3- حاصل­‌ضرب:                              

در اینجا از خاصیت   استفاده­ شده­است.

4- خارج­‌قسمت:برای تقسیم بر عدد غیر­صفر  کافی است، صورت و مخرج را در   ضرب نماییم.

 

  مثال)اگر  و ، آنگاه :

5- توان :اگر  ، آنگاه به سادگی می‌­توان نشان­ داد که برای هر عدد طبیعی  :

  

همچنین همواره داریم:

   

چون   ، پس با فرض  نتیجه می­‌گیریم  و یا به عبارتی دیگر :

این اتحاد به فرمول دموآور معروف است.

 

 مثال) با استفاده از فرمول دموآور بسط­‌هایرا به­‌دست‌­آورید.

حل: کافی است در فرمول دموآور  قرار دهیم ، پس :

با توان رساندن عبارت سمت چپ و برابر قرار­دادن بخش‌­های حقیقی و موهومی نتیجه­ می­‌گیریم :

6- ریشه :برای تعیین ریشه ام یک عدد­مختلط غیر­صفر ، ضروری است که ابتدا شکل قطبی به صورت    را تعیین کرده و سپس ریشه ها را از فرمول زیر محاسبه ­می‌­کنیم :

توجه­ کنید که برای مقادیر مختلف ، ریشه­‌های مختلف نتیجه می­‌گردند و چون برای      مجموعه­ای از n عدد متمایز حاصل ­می‌­شوند که برای سایر مقادیر  نیز همین مقادیر تکرار می­‌گردند ، این   مقدار متمایز  را ،  ریشه می­‌نامند.  ریشه متناظر با آرگومان اصلی () را ریشه اصلی می­‌خوانند. این ریشه روی دایره‌ای به شعاع   و به فواصل مساوی از یکدیگر واقع هستنند.

 

  مثال)ریشه­‌های سوم عدد8 را به‌­دست‌­آورید.

حل: شکل قطبی عدد8 به صورت  است. بنابراین ریشه­‌ها برابرند با :

        

 

این ریشه­‌ها به ترتیب برابر ،   و  هستند. ریشه اصلی (برای)  برابر است. هر سه ریشه روی دایره‌ای به شعاع واقع بوده و اختلاف آرگومان­‌های آن­ها برابر است.

مزدوج یک عدد­مختلط

عدد را مزدوج عدد  نامیده و آن را با  نمایش­ می‌دهیم. از نظر هندسی هم تصویر نسبت به محور‌ حقیقی می­‌باشد.

مثلا :  


برای تسلط بیشتر بر این مباحث، می‌توانید کپسول آموزش اعداد مختلط لینوم را هم مشاهده کنید.

0 نفر نظر دادن

نظرهای شما

نظر شما دربارۀ این مقاله چیه؟