فنی و مهندسی

انرژی پتانسیل و پایستگی انرژی

تاریخ انتشار: 8 ماه پیش
زمان مطالعه: 10 دقیقه
0 نفر دوست داشتن!
0 نفر نظر دادن
انرژی پتانسیل و پایستگی انرژی

انرژی پتانسیل و پایستگی انرژی

نیروهای پایستار:

نیروی پایستار نیرویی است که کار خالص انجام شده توسط آن روی یک ذره درحالحرکت در یک مسیر بسته از یک نقطه آغازی و برگشت به همان نقطه، صفر باشد. می توان گفت نیرو هنگامی پایستار است که کار خالص انجام شده روی یک ذره متحرک در میان دو نقطه به مسیر پیموده شده توسط ذره بستگی نداشته باشد. نیروی گرانشی و نیروی فنر نیروهایی پایستارند؛ نیروی اصطکاک جنبشی یک نیروی ناپایستار است.

انرژی پتانسیل:

انرژی پتانسیل انرژی وابسته به پیکربندی دستگاهی است که در آن نیروی پایستار اثر می کند. وقتی نیروی پایستار کار  را روی ذره ای در درون دستگاه انجام می دهد، ، تغییر انرژی پتانسیل دستگاه برابر است با

اگر ذره از نقطه  تا نقطه  حرکت کند، تغییر انرژی پتانسیل دستگاه برابر است با

انرژی پتانسیل گرانشی:

انرژی پتانسیل وابسته به دستگاه شامل زمین و یک ذره نزدیک آن، انرژی پتانسیل گرانشی است. اگر ذره از ارتفاع  تا ارتفاع   حرکت کند، تغییر انرژی پتانسیل گرانشی دستگاه ذره-زمین برابر است با

اگر نقطه مرجع ذره  و انرژی پتانسیل گرانشی دستگاه  انتخاب شود، انرژی پتانسیل گرانشی  وقتی که ذره در ارتفاع  قرار دارد، برابر است با

انرژی پتانسیل کشسانی:

انرژی پتانسیل کشسانی انرژی وابسته به حالت تراکم یا کشیدگی یک شیء کشسان است. برای فنری که در هنگام جابه جا شدن سرآزاد آن به اندازه  نیروی کشسانی  را وارد می کند، انرژی پتانسیل کشسانی برابر است با

در پیکربندی مرجع، فنر طول حالت آرامش خود را دارد و در این حالت داریم  .

مسئله نمونه- انتخاب کردن سطح تراز مرجع برای انرژی پتانسیل گرانشی، حیوان تنبل

یک حیوان تنبل به جرم  در ارتفاع5 متری سطح زمین از شاخه درختی آویزان شده است همانند شکل.

الف) انرژی پتانسیل گرانشی دستگاه حیوان-زمین   را با فرض آنکه نقطه مرجع یعنی ، (1) در روی سطح زمین، (2) در بالکنی به ارتفاع 3متر از سطح زمین، (3) در محل شاخه درخت، و (4) در ارتفاع 1 متر بالاتراز شاخه درخت انتخاب شود، حساب کنید. انرژی پتانسیل گرانشی در نقطه  را صفر بگیرید.

 

محاسبات:

در انتخاب شماره(1)، حیوان در نقطه  قرار دارد و می توان نوشت

در انتخاب های دیگر، پاسخ های مربوط به   عبارت اند از

ب) حیوان به زمین می افتد. در هر انتخاب نقطه مرجع، ، تغییر انرژی پتانسیل دستگاه حیوان-زمین بر اثر سقوط چقدر است؟

محاسبه: در هر چهار حالت تغییر ارتفاع یکسان و برابر با   است. پس برای انتخاب های (1) تا (4) با استفاده کردن از معادله زیر داریم

 

 

انرژی مکانیکی:

انرژی مکانیکی یک دستگاه  ، برابر با مجموع  انرژی جنبشی و   انرژی پتانسیل آن است:

دستگاه منزوی، دستگاهی است که در آن هیچ نیروی خارجی ای، انرژی دستگاه را تغییر نمی دهد. اگر در یک دستگاه منزوی فقط نیروهای پایستار کار انجام دهند، انرژی مکانیکی دستگاه، ، نمی تواند تغییر کند. این بیان اصل پایستگی انرژی مکانیکی است و از لحاظ فرمولی چنین نوشته می شود

که در آن شاخص ها در فرایند تبدیل انرژی به لحظه های مختلف مربوط می شوند. فرمول اصل پایستگی انرژی را به صورت زیر هم می توان نوشت

مسئله نمونه- پایستگی انرژی مکانیکی، سُرسُره ی آبی

مزیت کاربرد بسیار زیاد اصل پایستگی انرژی به جایقانون حرکت نیوتن این است که از حالت آغازی می توان به حالت پایانی پرید، بی آنکه همه حرکت های میانی در نظر گرفته شوند. به مثال زیر توجه کنید.

در شکل زیر بچه ای به جرم   از حالت سکون از بالای یک سُرسُره ی آبی به ارتفاع  به پایین می لغزد. با این فرض که سُرسُره به خاطر وجود آب بی اصطکاک است، تندی بچه را در پایین سُرسُره پیدا کنید.

محاسبات:فرض می کنیم انرژی مکانیکی بچه در بالای سرسره   و در پایین سرسره  باشد. اصل پایستگی ایجاب می کند که:

با بسط دادن این رابطه بر حسب هر دو نوع انرژی مکانیکی داریم

دو طرف معادله را به  تقسیم و حاصل را بازآرایی می کنیم:

با جانشانی  در معادله بالا داریم

این همان تندی است که اگر بچه از ارتفاع  می افتاد به دست می آورد. در یک سرسره ی واقعی نیروی اصطکاک اثر می کند و بچه درست با این تندی به پایین نمی رسد.

منحنی های انرژی پتانسیل:

اگر تابع انرژی پتانسیل  مربوط به دستگاهی را که در آن نیروی یک بُعدی   به ذره ای اثر می کند، بدانیم تابع نیرو را می توانیم از رابطه زیر به دست آوریم

اگر  به صورت یک منحنی داده شده باشد، به ازای هر مقدار  نیروی  برابر با مقدار شیب منحنی در آن نقطه با علامت منفی است و انرژی جنبشیذره از رابطه زیر به دست می آید

که در آن  انرژی مکانیکی دستگاه است. نقطه برگشت نقطه ای مانند  است، که در آن جهت حرکت ذره وارون می شود ( در آن نقطه ). ذره در نقاطی در حال تعادل است که شیب منحنی  صفر باشد[ در این نقاط،].

مسئله نمونه- خواندن نمودار انرژی پتانسیل

ذره ای به جرم 2 کیلوگرم در حالی که یک نیری پایستار در طول محور  به آن وارد می شود، دارای حرکت یک بُعدی در راستای محور  است. نمودار انرژی پتانسیل  وابسته به این نیرو در شکل زیر قسمت الف رسم شده است. بنا به این نمودار اگر ذره را در هر مکانی بین  قرار دهیم، دارای یکی از مقادیر رسم شده  خواهد بود. در نقطه  ، سرعت ذره  است.

الف) تندی ذره را در نقطه  مربوط به شکل قسمت ال به دست آورید.

محاسبات:در نقطه  انرژی جنبشی ذره برابر است با

در این نقطه داریم  انرژی مکانیکی برابر است با

این مقدار  در قسمت الف شکل، به صورت یک خط افقی رسم شده است. در این شکل می بینیم که در نقطه  انرژی پتانسیل برابر است با  . انرژی جنبشی  برابر با تفاضل  و  است:

ب) مکان نقطه برگشت ذره کجاست؟

محاسبات : چون  برابر با تفاضل  و  است، در قسمت الف شکل به دنبال نقطه ای می گردیم که با بالا رفتن نمودار تا خط افقی  مطابق قسمت ب شکل به آن برسیم. چون نمودار  در قسمت ب شکل یک خط راست است، می توانیم با در نظر گرفتن مثلث های راست گوشه مشخص شده در شکل نسبت فاصله ها را به صورت زیر بنویسیم

که در نتیجه داریم . بنابراین مکان نقطه برگشت عبارت است از

پ) نیرویی را که در ناحیه  به ذره وارد می شود حساب کنید.

محاسبات:با توجه به نمودار قسمت ب شکل می بینیم که نیرو در گستره  برابر است با

بنابراین نیرو دارای بزرگی  و در جهت مثبت محور  است. این نتیجه با این واقعیت سازگار است که نیرو حرکت آغازی چپ سوی ذره را متوقف می کند و سپس آن رابه راست سو حرکت می دهد.

کار انجام شده روی دستگاه توسط نیروی خارجی

انرژی است که از طریق یک نیروی خارجی موثر بر دستگاه به دستگاه داده یا از آن گرفته می شود. هرگاه بیش از یک نیرو به دستگاه اثر کند، کار خالص نیروها همان انرژی منتقل شده است. وقتی اصطکاک وجود ندارد کار انجام شده روی دستگاه برابر با تغییر انرژی مکانیکی دستگاه ، است:

هرگاه یک نیروی اصطکاک جنبشی به دستگاه اثر کند، انرژی گرمایی دستگاه،  تغییر می کند. ( این انرژی وابسته بهحرکت تصادفی اتم ها و مولکول های دستگاه است). پس کار انجام شده روی دستگاه برابر است با

 

رابطه تغییر انرژی با بزرگی نیروی اصطکاک   ، وبزرگی جابه جایی  حاصل از نیروی خارجی چنین است

مسئله نمونه- کار، اصطکاک، تغییر انرژی گرمایی، صندوق کلم

شخصی یک صندوق چوبی پر ازکلم به جرم کل 14 کیلوگرم را با نیروی افقی و ثابت  به بزرگی  بر روی یک سطح بتونی هل می دهد. در یک جابه جایی مستقیم به بزرگی  ، تندی صندوق از  به کاهش می یابد.

الف)بزرگی نیروی  چقدر کار انجام می دهد و کار روی چه دستگاهی انجام می شود؟

محاسبه: با جانشانی داده های معلوم و در نظر گرفتن این واقعیت که نیروی  و جابه جای  همسو هستند داریم

ب) افزایش انرژی گرمایی صندوق و سطح  چقدر است؟

محاسبه: مقدار  در قسمت الف به دست آمده است.  تغییر انرژی مکانیکی صندوق درست برابر با تغییر انرژی جنبشی است زیرا هیچ تغییری در انرژی پتانسیل صورت نگرفته است. در نتیجه داریم

با جانشانی این مقدار در معادله  و حل کردن معادله حاصل نسبت به  داریم

بدون انجام دادن آزمایش های بیشتر نمی توان گفت که چه مقدار از این انرژی گرمایی به صندوق و چه مقدار به سطح بتونی داده می شود. ما فقط مقدار کل انرژی گرمایی را می دانیم.

پایستگی انرژی

انرژی کل یک دستگاه،  (مجموع انرژی مکانیکی و انرژی های درونی، از جمله انرژی گرمایی) فقط می تواند با مقدار انرژی داده شده به دستگاه یا گرفته شده از آن تغییر کند. این واقعیت تجربی قانون پایستگی انرژی نامیده می شود.

اگر کار انجام شده روی دستگاه  باشد، داریم

اگر دستگاه منزوی باشد ( ) خواهیم داشت

و

که در آن شاخص های پایین 1و2 مربوط به دو لحظه متفاوت هستند. توان ناشی از یک نیرو، آهنگ انتقال انرژی توسط آن نیرو است. اگر در بازه زمانی  انرژی  توسط یک نیرو به دستگاه منتقل شود، توان متوسط آن نیرو برابر است با

توان لحظه ای ناشی از نیرو برابر است با

در هر زمان معین روی نمودار انرژی  بر حسب زمان  ، توان برابر با شیب نمودار است.

مسئله نمونه- مقدار زیاد انرژی در سُرسُره ی آبی پارک تفریحی

شکل زیر یک سُره سُره ی آبی را نشان می دهد که در آن یک گلایدر(بادپر) در طول مسیری آب خیس (بی اصطکاک) به وسیله فنری پرتاپ می شود و پس از پیمودن یک بخش افقی تا سطح تراز زمین پایین می آید. بادپر پس از رسیدن به مسیر تراز زمین بر اثر اصطکاک به تدریج به حال سکون می رسد. جرم کل بادپرو سرنشین آن  میزان تراکم آغازی فنر  ، ثابت فنر ، ارتفاع آغازی  و ضریب اصطکاک جنبشی مسیر تراز زمین  است. بادپر در طول مسیر تراز زمین چه مسافت  را می لغزاند تا متوقف می شود؟

نیروها: نیروی عمودی ناشی از مسیرحرکت روی بادپرکاری انجام نمی دهد زیرا این نیرو همیشه برجابه جایی بادپر عمود است. نیروی گرانشی روی بادپر کار انجام می دهد، و چون این نیرو پایستار است می توان به آن یک انرژی پتانسیل نسبت داد. وقتی فنر بادپر را با فشار دادن به حرکت در می آورد، نیروی فنر روی آن کار انجام می دهد و انرژی از صورت انرژی پتانسیل کشسانی فنر متراکم شده به انرژی جنبشی بادپر تبدیل می شود. نیروی فنر، دیوار صُلب را هم هل می دهد. چون در بین بادپر و مسیر تراز زمین اصطکاک وجود دارد، بادپر در حال لغزیدن در طول مسیر انرژی های گرمایی آن ها را افزایش می دهد.

دستگاه: دستگاه را به گونه ای که شامل همه اشیای برهم کنش کننده، یعنی، بادپر، مسیر، فنر، زمین و دیوار باشد، در نظر می گیریم. سپس چون تمام برهم کنش های نیروها در درون دستگاه صورت می گیرند، دستگاه منزوی است و در نتیجه انرژی کل آن نمی تواند تغییر کند.بنابراین معادله مورد استفاده همان معادله مربوط به نیروی خارجی انجام دهنده کار روی دستگاه نیست، بلکه یک معادله پایستگی انرژی است. این معادله به صورت زیر داریم

 

این معادله ماند ی معادله پول است: پول پایانی برابر با پول آغازی منهای مبلغ دزدیده شده توسط یک دزد است. در اینجا انرژی مکانیکی پایانی برابر با انرژی مکانیکی آغازی منهای مقدار دزدیده شده توسط اصطکاک است. بنابراین چیزی به گونه ای سحرآمیز پدیدار یا ناپدید نمی شود.

محاسبات:

 

اکنون که یک معادله در دست داریم مسافت  را پیدا می کنیم. فرض می کنیم شاخص پایین 1 مربوط به حالت آغازی بادپر ( وقتی که هنوز به فنر متراکم شده متصل است) و شاخص پایین 2 مربوط به حالت پایانی بادپر ( وقتی که بر روی مسیر تراز زمین متوقف می شود) باشد. در هر دو حالت، انرژی مکانیکی دستگاه برابر با مجموع هرگونه انرژی پتانسیل و هر گونهانرژی جنبشی است.

در اینجا دو نوع انرژی پتانسیل وجود دارد. انرژی پتانسیل کشسانی(  وابسته به فنر متراکم شده وانرژی پتانسیل گرانشی   وابسته به ارتفاع بادپر نسبت به زمین. در مورد انرژی پتانسیل گرانشی، سطح زمین را به عنوان سطح تراز مرجع انتخاب می کنیم. منظور این است که بادپر در آغاز در ارتفاع  و در پایان در ارتفاع  قرار دارد. در حالت آغازی که بادپر ساکن و در ارتفاع واقع و فنر متراکم شده است انرژی برابر است با

                                                        (1)

در حالت پایانی که اکنون فنر در حالت آرامش قرار دارد و بادپر بار دیگر ساکن است اما در ارتفاع واقع نیست، انرژی مکانیکی پایانی دستگاه برابر است با

                                                                   (2)

اکنون تغییر انرژی گرمایی بادپر و مسیر تراز زمین را به دست می آوریم. با استفاده کردن از معادله

به جای  می توان مقدار  ( حاصلضرب بزرگی نیروی اصطکاک و مسافت با اصطکاک) را قرار داد. می دانیم

   ، که در آن  نیروی عمودی است. چون بادپر در ناحیه با اصطکاک به طور افقیحرکت می کند، بزرگی  برابر است با  ( نیروی بالاسویی که با نیروی پایین سو همساز است). بنابراین مقدار انرژی مکانیکی دزدیده شده توسط اصطکاک برابر است با

( به هرحال، بدون انجام دادن آزمایش های بیشتر نمی توان گفت که از این انرژی گرمایی چقدر به بادپر و چقدر به مسیرحرکت مربوط می شود. ما فقط مقدار کل انرژی گرمایی را می دانیم). با جانشانی معادله های1تا3 در معادله

  داریم

واز آنجا

برای مطالعه مباحث بیشتر ازمحصول دوره آموزشی فیزیک عمومی 1 استفاده کنید.

0 نفر نظر دادن

نظرهای شما

نظر شما دربارۀ این مقاله چیه؟