انتگرال های مختلط در ریاضی مهندسی

4) معرفی انتگرال‌های‌ توابع‌مختلط و روش حل انتگرال‌های‌توابع مختلط

در اینآموزش کپسولی لینوم به معرفی انتگرال‌تابع‌مختلط و بررسی خواص آن می‌پردازیم. این کار با استفاده از انتگرال روی منحنی در داخل صفحه انجام می‌پذیرد. بااستفاده از آن نشان‌خواهیم‌داد هر تابع‌تحلیلی روی منحنی در داخل صفحه انجام‌می‌پذیرد. بااستفاده از آن نشان‌خواهیم‌داد هر تابع تحلیلی نه تنها بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر است بلکه دارای بسط تیلور نیز می‌باشد. با استفاده از این نتایج، محاسبه انتگرال‌های‌معین پیچیده حقیقی به سادگی و می‌توان گفت در حد انجام محاسبات چهار عمل اصلی قابل انجام است. مثلا انتگرال‌های زیر به سادگی قابل محاسبه هستند:

قضیه کوشی-گورسای یا قضیه انتگرال کوشی و نتایج آن مهم‌ترین مطلب مبحث انتگرال خواهدبود. با نتایج حاصل محاسبه انتگرال‌های فوق مقدور می‌گردد. خواهیم‌دید معرفی سری تیلور و سری مک-لورن محاسبه انتگرال‌های مختلط را ساده‌تر می‌کنند و نهایتا با معرفی مانده و خواص آن کار محاسبات را در حد محاسبات چهار عمل اصلی تقلیل می‌دهیم.

1-4 انتگرال‌مختلط و روش‌های حل آن

برای معرفیانتگرال در ابتدا به یادآوری مفاهیمی از منحنی در صفحه می‌پردازیم. هر تابع پیوسته مانند را یک منحنی در صفحه مختلط یا مختصرا یک منحنی گوییم. این منحنی را به صورت پارامتری زیر می‌توان نمایش‌داد.

که در آن و توابع حقیقی از متغییر حقیقی است.

مثال1)منحنی همان منحنی با دامنه است.

منحنی را یک منحنی ساده گوییم اگر خودش را قطع نکند. این منحنی را بسته گوییم اگر نقاط ابتدا و انتهای آن بر هم منطبق باشند. یعنی . منحنی بسته و ساده را منحنی جردن گویند. (شکل1.1) اگر طول منحنی متناهی باشد، آن را با طول متناهی گویند. جهت منحنی را جهت افزایش بر روی آن می‌گیریم. جهت منحنی را جهت مثلثاتی روی دایره و در داخل آن می‌گیریم. این جهت را جهت مثبت منحنی جردن و خلاف آن را جهت منفی می‌دانیم.

تعریف انتگرال مختلط

فرض کنید یک منحنی در صفحه و یک تابع پیوسته با دامنه باشد، به طوری که منحنی در داخل واقع باشد، انتگرال روی را که با نشان می‌دهیم به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

مثال2) مطلوبست محاسبه که در آن .

حل:

**تذکر

برای بازنویسی تعریف فوق کافیست در به جای مقدار و به جای مقدار را قراردهیم و ساده کنیم:

در زیر خواصی از انتگرال را می‌آوریم که برای انتگرال روی منحنی برقراراست. در این جا فرض بر این است که که و توابع مختلط پیوسته و و ومنحنی‌های با طول متناهی هستند.

1- از انتگرال روی منحنی داریم:

2- برای هر عدد مختلط داریم:

3- اگر منحنی در جهت عکس باشد، آنگاه:

4- اگر و دو منحنی در صفحه و ابتدای بر انتهای منطبق باشد، آنگاه:

5- اگر منحنی دارای مشتق قطعه‌به‌قطعه پیوسته هموار باشد، آنگاه:

6- اگر منحنی دارای دو نوع نمایش پارامتری متفاوت مانند و باشد، آنگاه:

یعنی مقدار انتگرال به نحوه پارامتری کردن منحنی بستگی ندارد.

7- اگر منحنی دارای طولی برابر و برای نقاط روی منحنی داشته‌باشیم ، عددی ثابت، آنگاه:

8- فرض‌کنید و روی پیوسته و با قطعه‌به‌قطعه پیوسته در داخل باشد، آنگاه:

این خاصیت را می‌توان تعمیمی از قضیه اساس حساب‌دیفرانسیل و انتگرال دانست.

مثال3)مطلوبست محاسبه ، وقتی .

حل: با توجه بهویژگی5می‌نویسیم:

4-2 قضیه کوشی و نتایج آن

اکنون به بیان قضیه انتگرال کوشی که به قضیه کوشی-گورسای نیز شهرت دارد می‌پردازیم. این قضیه همان قضیه گرین برای توابع مختلط است که اساس نظریه توابع مختلط است.

قضیه کوشی: اگر یک حوزه همبند(ساده یا مرکب) با مرز قطعه‌به‌قطعه هموار باشد و روی و داخل ، تحلیلی باشد، آنگاه:

(این خاصیت، معادل دیفرانسیل کامل بودن در انتگرال‌های حقیقی است.)

مثال4) را محاسبه کنید.

حل: تابع یک تابع تام است، پس درون و روی دایره واحد تحلیلی است. بنابراین مقدار انتگرال صفر است.

از قضیه کوشی نتابج زیر حاصل می‌شود:

1- در هر حوزه همبند ساده که در آن تحلیلی است، مستقل از مسیرانتگرال‌گیری است.

2- اگر در حوزه تعریف شده و در این ناحیه تحلیلی باشد، همچنین در این حوزه داشته‌باشیم ، آنگاه یک تابع اولیه است. حال اگر یک خم ساده بین دو نقطه و واقع در باشد، در اینصورت داریم:

به عبارت دیگر اگر مشتق یک تابع تحلیلی باشد، در این صورت انتگرال آن مستقل از مسیر انتگرال‌گیری است و می‌توان از آن مستقیما انتگرال گرفت. به خصوص اگر ، در این صورت مقدار انتگرال صفر است. (قضیه کوشی)

3- اگر داخل و روی مرز حوزه ، ناحیه بین دو منحنی بسته ساده غیرمتقاطع و جهت‌دار در جهت مثبت، تحلیلی باشد آنگاه:

4- اگر داخل و روی مرز ناحیه ، ناحیه بین منحنی‌های بسته ساده غیرمتقاطع ،، .... ، و جهت دار در جهت مثبت، (مطابق شکل بالا) تحلیلی باشد، آنگاه:

مثال5) مقدار ، که در آن بخشی از سهمی ، ، برای است را محاسبه‌کنید.

حل: تابع یک تابع تام است، پس در هر ناحیه شامل خم فوق تحلیلی است، پس انتگرال آن مستقل از مسیر است و داریم:

5-2 قضیه انتگرال کوشی و نتایج آن

قضیه انتگرال کوشی روش محاسبه را وقتی در داخل ناحیه انتگرال‌گیری تحلیلی است و یک چند جمله‌ای است که حداقل یک صفر آن در داخل ناحیه انتگرال‌گیری واقع است، توضیح می‌دهد.

قضیه انتگرال کوشی- اگر در داخل و روی مرز یک ناحیه همبند ساده ، تحلیلی بوده و یک نقطه داخلی باشد، آنگاه:

قضیه انتگرال کوشی-اگر روی حوزه همبند ساده و مرز آن تحلیلی باشد، در اینصورت تمام مشتقات مراتب مختلف در نقطه داخلی از موجود بوده و تحلیلی می‌باشند و داریم:

به عبارت دیگر یک تابع تحلیلی نه فقط تمام مشتقات از همه مراتب را داراست، بلکه هر مشتق خود یک تابع تحلیلی است، زیرا دارای مشتق است. این خاصیت برای توابع حقیقی برقرار نیست و آنها می‌توانند فقط دارای چند مشتق در یک نقطه بوده و فاقد مشتقات مراتب بالاتر در آن نقطه باشند، به عنوان مثال از مشتق چهارم به بعد را در نقطه دارا نیست.