فنی و مهندسی

انتگرال های مختلط در ریاضی مهندسی

تاریخ انتشار: 1 سال پیش
زمان مطالعه: 10 دقیقه
16 نفر دوست داشتن!
0 نفر نظر دادن
انتگرال های مختلط در ریاضی مهندسی

4) معرفی انتگرال‌­های­­‌ توابع­‌مختلط و روش حل انتگرال­‌های­‌توابع مختلط

در اینآموزش کپسولی لینوم به معرفی انتگرال‌تابع‌مختلط و بررسی خواص آن می‌پردازیم. این کار با استفاده از انتگرال روی منحنی در داخل صفحه انجام می‌پذیرد. بااستفاده از آن نشان‌خواهیم‌داد هر تابع‌­تحلیلی روی منحنی در داخل صفحه انجام‌می‌پذیرد. بااستفاده از آن نشان‌خواهیم‌داد هر تابع ­تحلیلی نه تنها بی‌نهایت بار مشتق‌­پذیر است بلکه دارای بسط تیلور نیز می‌­باشد. با استفاده از این نتایج، محاسبه انتگرال‌­های‌­معین پیچیده­ حقیقی به سادگی و ­می­‌توان گفت در حد انجام محاسبات چهار عمل اصلی قابل انجام است. مثلا انتگرال­‌های­ زیر به سادگی قابل محاسبه هستند:

قضیه کوشی-گورسای یا قضیه انتگرال کوشی و نتایج آن مهم‌­ترین مطلب مبحث انتگرال خواهد­بود. با نتایج حاصل محاسبه انتگرال­‌های فوق مقدور می­‌گردد. خواهیم‌­دید معرفی سری تیلور و سری مک-لورن محاسبه انتگرال­‌های مختلط را ساده­‌تر می­‌کنند و نهایتا با معرفی مانده و خواص آن کار محاسبات را در حد محاسبات چهار عمل اصلی تقلیل می‌­دهیم.

1-4 انتگرال‌­مختلط و روش‌­های حل آن

برای معرفیانتگرال در ابتدا به یادآوری مفاهیمی از منحنی در صفحه می‌­پردازیم. هر تابع پیوسته مانند   را یک منحنی در صفحه­ مختلط یا مختصرا یک منحنی گوییم. این منحنی را به صورت پارامتری زیر می­‌توان نمایش‌­داد.

که در آن   و   توابع ­حقیقی از متغییر حقیقی   است.

 مثال1)منحنی     همان منحنی     با دامنه   است.

منحنی را یک منحنی ساده گوییم اگر خودش را قطع نکند. این منحنی را بسته گوییم اگر نقاط ابتدا و انتهای ­آن بر هم منطبق ­باشند. یعنی  .  منحنی بسته و ساده را منحنی جردن گویند. (شکل1.1) اگر طول منحنی متناهی باشد، آن را با طول متناهی گویند. جهت منحنی را جهت افزایش  بر روی آن می‌­گیریم. جهت منحنی را جهت مثلثاتی روی دایره و در داخل آن می­‌گیریم. این جهت را جهت مثبت منحنی جردن و خلاف آن را جهت منفی می­‌دانیم.

تعریف انتگرال­ مختلط

فرض­ کنید    یک منحنی در صفحه و   یک تابع پیوسته با دامنه   باشد، به طوری که منحنی  در داخل واقع­ باشد، انتگرال  روی   را که با    نشان­ می­‌دهیم به صورت­ زیر تعریف­ می­‌کنیم:

 مثال2) مطلوبست محاسبه  که در آن  .

حل:

  

 

 

**تذکر

برای باز­نویسی تعریف فوق کافیست در   به جای    مقدار و به جای  مقدار  را قرار­دهیم و ساده ­کنیم:

در زیر خواصی از انتگرال را می‌­آوریم که برای انتگرال روی منحنی برقرار­است. در این جا فرض بر این است که که و  توابع مختلط پیوسته و   و  ومنحنی­‌های ­با طول متناهی هستند. 

1- از انتگرال روی منحنی داریم:

2- برای هر عدد مختلط   داریم:

3-  اگر   منحنی   در جهت عکس باشد، آنگاه:

4- اگر  و  دو منحنی در صفحه و ابتدای­  بر انتهای   منطبق ­باشد، آنگاه:

5- اگر منحنی     دارای مشتق قطعه‌­به‌­قطعه پیوسته هموار باشد، آنگاه:

6- اگر منحنی دارای دو نوع نمایش پارامتری متفاوت مانند    و     باشد، آنگاه:

یعنی مقدار انتگرال به نحوه پارامتری کردن منحنی  بستگی ندارد.

7- اگر منحنی  دارای طولی برابر  و برای نقاط روی منحنی  داشته‌­باشیم    ،   عددی ثابت، آنگاه:

8- فرض­‌کنید  و روی  پیوسته و      با    قطعه‌­به‌­قطعه پیوسته در داخل  باشد، آنگاه:

این خاصیت را می‌­توان تعمیمی از قضیه اساس حساب‌دیفرانسیل و انتگرال  دانست.

 

 مثال3)مطلوبست محاسبه      ، وقتی     .    

حل: با توجه بهویژگی5می­‌نویسیم:

4-2 قضیه کوشی و نتایج آن

اکنون به بیان قضیه انتگرال کوشی که به قضیه کوشی-گورسای نیز شهرت دارد می‌­پردازیم. این قضیه همان قضیه گرین برای توابع­ مختلط است که اساس نظریه توابع­ مختلط است.

قضیه کوشی:  اگر یک حوزه همبند(ساده یا مرکب) با مرز قطعه­‌به­‌قطعه هموار باشد و   روی و داخل ، تحلیلی باشد، آنگاه:

(این خاصیت، معادل دیفرانسیل کامل ­بودن    در انتگرال­‌های ­حقیقی است.)

 مثال4) را محاسبه ­کنید.

حل: تابع  یک تابع تام است، پس درون و روی دایره واحد تحلیلی است. بنابراین مقدار انتگرال صفر است.

از قضیه کوشی نتابج زیر حاصل­ می­‌شود:

1- در هر حوزه همبند ساده که در آن تحلیلی است،   مستقل از مسیرانتگرال‌­گیری است.

2- اگر  در حوزه تعریف ­شده و   در این ناحیه تحلیلی باشد، همچنین در این حوزه داشته­‌باشیم  ، آنگاه  یک تابع اولیه  است. حال اگر  یک خم ساده بین دو نقطه  و  واقع در  باشد، در اینصورت داریم:

به عبارت دیگر اگر   مشتق یک تابع تحلیلی باشد، در این صورت انتگرال آن مستقل از مسیر انتگرال‌­گیری است و می­‌توان از آن مستقیما انتگرال گرفت. به خصوص اگر   ، در این صورت مقدار انتگرال صفر است. (قضیه کوشی)

3- اگر داخل و روی مرز حوزه ، ناحیه بین دو منحنی بسته ساده غیر­متقاطع  و جهت­­‌دار در جهت مثبت، تحلیلی باشد آنگاه:

4- اگر  داخل و روی مرز ناحیه  ، ناحیه بین منحنی­‌های بسته ساده غیر­متقاطع ،، .... ،   و جهت دار در جهت مثبت، (مطابق شکل بالا) تحلیلی باشد، آنگاه:

 مثال5) مقدار ، که در آن  بخشی از سهمی   ،   ، برای   است را محاسبه­‌کنید.

حل: تابع     یک تابع تام است، پس در هر ناحیه شامل خم فوق تحلیلی است، پس انتگرال آن مستقل از مسیر است و داریم:

   

 

5-2 قضیه انتگرال­ کوشی و نتایج آن

قضیه انتگرال­ کوشی روش محاسبه  را وقتی در داخل ناحیه انتگرال‌­گیری تحلیلی است و  یک چند جمله­‌ای است که حداقل یک صفر آن در داخل ناحیه انتگرال­‌گیری واقع است، توضیح ­می‌­دهد.

قضیه انتگرال کوشی- اگر در داخل و روی مرز یک ناحیه همبند ساده ، تحلیلی بوده و  یک نقطه داخلی  باشد، آنگاه:

   

 

قضیه انتگرال­ کوشی-اگر روی حوزه همبند ساده  و مرز آن  تحلیلی باشد، در اینصورت تمام مشتقات مراتب مختلف  در نقطه داخلی    از موجود بوده و تحلیلی می‌­باشند و داریم:

به عبارت دیگر یک تابع تحلیلی نه فقط تمام مشتقات از همه مراتب را داراست، بلکه هر مشتق خود یک تابع­ تحلیلی است، زیرا دارای مشتق است. این خاصیت برای توابع­ حقیقی برقرار نیست و آن­ها می‌­توانند فقط دارای چند مشتق در یک نقطه بوده و فاقد مشتقات مراتب بالا­تر در آن نقطه باشند، به عنوان مثال   از مشتق چهارم به بعد را در نقطه   دارا نیست.

 مثال6)فرض­‌کنید  ؛ مقادیر ،  و  را تعیین­ کنید.

حل:                                                                                                       

               

چون نقطه  خارج دایره واقع­ است، بنابراین  .

داریم   ، پس        .

چون  در داخل خم است با استفاده از فرمول انتگرال کوشی نتیجه ­می­‌گیریم:

 

در، داریم . به همین طریق می­‌توان نشان ­داد که چون  ، پس:

نتایج قضیه انتگرال ­کوشی

با استفاده از فرمول انتگرال­ کوشی نتایج مهمی حاصل­ می‌­شود. ما در زیر به ذکر مهم‌­ترین آن­ها می­‌پردازیم:

1- قضیه مُررا (عکس قضیه کوشی):اگر   در حوزه ساده  پیوسته بوده و برای هر منحنیدر این ناحیه   باشد، آنگاه   درتحلیلی است.

2- نامساوی کوشی:اگر روی و داخل دایره تحلیلی بوده و  کرانی برای  روی باشد، در این صورت چون:


برای یادگیری بیش‌تر مبحث انتگرال، می‌توانیدویدیو آموزشی انتگرال را مشاهده کنید.

0 نفر نظر دادن

نظرهای شما

نظر شما دربارۀ این مقاله چیه؟