فنی و مهندسی

حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی در محاسبات عددی

تاریخ انتشار: 1 سال پیش
زمان مطالعه: 15 دقیقه
1 نفر دوست داشته!
0 نفر نظر دادن
حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی در محاسبات عددی

 اصلا ما چه به چه معادله دیفرانسیلی می‌گیم معادله دیفرانسیل معمولی؟؟؟

اولین روش حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی اسمش هست روش تیلور از مرتبه. این روش وقتی به کار میاد که بخوایم معادله دیفرانسیلی به صورت   و با شرط اولیه  رو در بازه  حل بکنیم.

اول از همه باید بازه رو به قسمت های مساوی تقسیم کنیم، به طوری که طول هر قسمت عدد ثابتی مثل  باشه. بعد با استفاده از رابطه بازگشتی زیر، معادله دیفرانسیل رو به راحتی حل می‌کنیم!!!

توجه کنید که در رابطه بالا زیاد شدن  و کم شدن  باعث بیشتر شدن دقت عددمون میشه.

روش بعدی اسمش روش اویلر هست. این روش هیچ چیز جدیدی نداره!!!

در واقع روش اویلر همون روش تیلور از مرتبه 1 هست!!! یعنی اگر در روش تیلور قرار بدیم ، اسمش میشه روش اویلر...

 روابط روش اویلر رو به دست بیارید.\

جواب این سوال و توضیح کامل این درس را فقط در ۸ ساعت از اینجا مشاهده کنین.

 به نظرتون روش اویلر چه معایبی داره؟؟؟

اسم روش سوم برای حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی، روش رونگه کوتا هست... این روش رونگه کوتا دو ورژن داره! ورژن درجه دو و ورژن درجه چهار... معادلاتش هم این مدلیه:

اینجوریه که توی هر مرحله باید به ترتیب  و  مربوط به اون مرحله رو از فرمولای بالا حساب بکنید، و با استفاده از اون‌ها بتونی مقدار  مرحله بعد رو به صورت بازگشتی محاسبه کنید.

 با استفاده از روش رونگه کوتای مرتبه دوم، مقدار  را از معادله دیفرانسیل    با مقدار اولیه  به دست آورید.

برای رونگه کوتای مرتبه چهارم هم داریم:

در این روش هم مثل روش قبل ثابت‌ها رو به ترتیب محاسبه می‌کنیم و با استفاده از رابطه آخر که بازگشتی هست، یک مرحله به جواب نزدیک‌تر می‌شیم.

بدیهیه که رونگه کوتای مرتبه چهارم از مرتبه دوم دقیق‌تره.

بحث بعدیمون در مورد دستگاه معادلات دیفرانسیله. در این درس ما فقط دستگاه شامل دو معادله دیفرانسیل معموله و دو تابع رو بررسی می‌کنیم. برای حل این نوع دستگاه از یک ورژن پیشرفته‌تر رونگه کوتای مرتبه چهارم استفاده می‌شه که معادلاتش به این صورت هست:

در این معادلات هم باید به ترتیب در هر مرحله هشت تا ضریب مربوط به اون مرحله رو محاسبه کنیم و با استفاده از دو تا فرمول بازگشتی که داریم، مقادیر رو برای مرحله بعد حساب کنیم و قدم به قدم به جواب مسئله نزدیک و نزدیک‌تر بشیم.

یک ایده خیلی خوب اینه که اگر یک معادله دیفرانسیل معمولی درجه دوم داشتیم، قرار بدیم   و بعدش به معادلات  و   مثل یک دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه اول نگاه کنیم و حلش کنیم؛ پس با این کلک کوچولو تونستیم معادلات معمولی مرتبه دوم رو هم به صورت عددحل بکنیم، که حتما برید و روش دقیق حل و مثال حل شده این مبحث رو در ویدیو های آموزشی ببینید و یاد بگیرید!!!

آموزش حل معادلات دیفرانسیل در محاسبات عددی

 

0 نفر نظر دادن

نظرهای شما

نظر شما دربارۀ این مقاله چیه؟