فنی و مهندسی

توابع مختلط در ریاضی مهندسی

تاریخ انتشار: 1 سال پیش
زمان مطالعه: 16 دقیقه
0 نفر دوست داشتن!
0 نفر نظر دادن
توابع مختلط در ریاضی مهندسی

2)روش حل توابع‌­مختلط ، حدود و پیوستگی ، مشتق ، توابع‌­تحلیلی

2-1 معرفی توابع‌­مختلط و روش حل توابع‌­مختلط

در این آموزش کپسولی لینوم، به سراغ یادگیری توابع مختلط، حدود و پیوستگی،مشتق و  توابع تحلیلی می‌رویم.

برای شروع بهتر است که توابع­‌مختلط را در قیاس با توابع­‌حقیقی متناظر آن مقایسه کنیم :

 

    

بنابراین در توابع‌­مختلط چیزی به نام رسم تابع نداشته و صرفا به نگاشت یک ناحیه به ناحیه دیگر بسنده می­‌کنیم.

به طور کلی صفحه  را صفحهدامنه و صفحه را صفحهبرد تابع  می­‌نامند.

اگر    یک تابع­‌مختلط باشد، آنگاه بخش‌­های حقیقی و موهومی آن را به ترتیب با   و   نمایش‌­می­‌دهیم.

تعیین بخش­‌های حقیقی و موهومی توابع‌­مختلط برای بررسی رفتار­های آن ها ضروری است و برای تعیین آ‌ن­‌ها از شکل­‌های دکارتی یا قطبی  استفاده ­‌می­‌شود.

 مثال1) بخش­‌های حقیقی و موهومی تابع   را به­‌دست‌­آورید.

حل : با استفاده از شکل دکارتی  داریم :

بنابراین 

    و   

همچنین شکل قطبی  نتیجه­‌ می­‌دهد:

پس    و   می‌­باشند که همان  و  مختصات دکارتی است.

 مثال2) بخش­‌های حقیقی و موهومی تابع را به‌­دست‌­آورید.

حل : با استفاده از شکل دکارتی داریم:

بنابراین

   و  

در اینجا شکل قطبیبرای تعیین و مناسب نیست.

تعیین صفر­های تابع

  را صفر تابع   نامیم اگر   باشد. برای تعیین صفر­های یک تابع کافی است بخش­‌های حقیقی و موهومی آن را تواما برابر صفر قرار­دهیم.

 مثال3)معادله  را حل­‌کنید. (یعنی صفر­های تابع  را بیابید.)

حل: با توجه به مثال2 نتیجه ­‌می­‌گیریم که :

 

   

از رابطه (2)  نتیجه­‌ می‌­گیریم ، پس از رابطه (1) نتیجه­‌ می‌­گیریم.حالت معادله ممتنع را نتیجه‌­ می‌­دهد، پس 

بنابراین   و   و جواب­‌های معادله برای کلیه  های صحیح به صورت زیر است :

            

2-2 معرفی حدود و پیوستگی تابع‌‌­مختلط و روش حل حدود و پیوستگی تابع‌­مختلط

تعاریفحدود و پیوستگی توابع­‌مختلط مشابه توابع‌­حقیقی است. با توجه به اینکه لذا   اگر دو تابع دو متفییره  و  در نقطه­‌ای حد داشته‌­باشند، تابع نیز در آن نقطه دارای حد است . ( و به همین ترتیب در مورد پیوستگی)

قضایای اساسی زیر در محاسبه حدود و تشخیص پیوستگی توابع­‌مختلط مفیدند.

قضیه1-شرط لازم و کافی برای وجود حد تابع  در  آن است که توابع­‌حقیقی دو متغیره   و  در  دارای حد باشند.

 

قضیه2-شرط لازم و کافی برای پیوستگی تابع  در آن است که توابع­‌حقیقی دو متغییره  و  در  پیوسته باشند.

با توجه به قضایای فوق، چون بخش­‌های حقیقی و موهومی توابع چند­جمله‌­ای در همه نقاط پیوسته اند، نتیجه ­‌می­‌گیریم که توابع چند­جمله‌­ای در همه نقاط پیوسته هستند. همچنین خارج­‌قسمت دو چند­جمله‌­­ای ، تابع گویا، در همه نقاط به جز در ریشه­‌های مخرج آن پیوسته است.

 مثال4)تحقیق‌­کنید تابع  در چه نقاطی پیوسته است؟

حل: تابع چند­جمله‌­ای  در کلیه نقاط پیوسته است. همچنین چون:

در کلیه نقاط پیوسته اند، پس تابع مخرج، در کلیه نقاط پیوسته است. بنابراین تابع   در کلیه نقاط جز صفر­های مخرج  یعنی نقاط    برای کلیه  های صحیح (مثال3)  پیوسته است.

3-2 معرفی مشتق تابع­‌مختلط و روش حل مشتق تابع‌­مختلط و تابع­‌تحلیلی

در ادامه اینآموزش کپسولی لینوم، مشتق توابع‌­مختلط را مشابه توابع­‌حقیقی تعریف‌­ می­‌کنیم ، یعنی:

 

برای مشتق­‌پذیری، تابع باید تک مقداری باشد یا تک مقداری بشود. اینکار با محدود­کردن به یک دور مثلثاتی انجام‌­پذیر است که معادل انتخاب  می­‌باشد.  اینکار مشابه انتخاب برای تابع نمودن می‌­باشد که در این صورت  با   نمایش‌­داده می­‌شود.

 مثال5)مشتق­‌پذیری تابع را بررسی‌­کنید.

حل: در نقطه دلخواه داریم:

حد فوق روی مسیر برابر مقدار 1 و روی مسیر   برابر مقدار 1-  است. پس حد فوق در هیچ نقطه‌­ای موجود نبوده و بنابراین در هیچ نقطه‌­ای دارای مشتق نیست.

قضیه اول کوشی-­ریمان (شرط لازم مشتق‌­پذیری)

اگر تابع در نقطه مشتق‌­پذیر باشد، در این صورت حتما حد آن از دو مسیر (1) و (2) یکسان است. حال بررسی می­‌کنیم برای یک تابع دلخواه، در چه صورت حد از این دو مسیر برابر خواهد­شد.

 

 مثال6)مشتق­‌پذیری تابع  را بررسی­‌کنید.

حل :

                                                                                     

قضیه دوم کوشی-ریمان (شرط کافی مشتق‌­پذیری)

اثبات دقیق این قضیه با استفاده از قضیه مقدار میانگین در توابع دو متغییره می‌باشد که طولانی بوده و از آن صرف نظر می­شود. به جای آن یک اثبات شهودی برای این قضیه به صورت زیر ارائه  ­می­‌شود.

مشتق زنجیری زمانی اعتبار دارد که 6تابع   ,    پیوسته باشند. حال اگر شرایط لازم کوشی-ریمان هم برقرار باشد، هر دو پرانتز بالا با هم مساوی اند. اگر هر دو را بنامیم:

یعنی همان مشتق تابع می‌­باشد. پس اگر 6 تابع گفته­‌شده پیوسته و شرایط لازم کوشی-ریمان هم برقرار باشد ، تابع دارای مشتق بوده و به یکی از چهار فرم زیر قابل محاسبه است:

 مثال7)تحقیق­‌کنید تابع  فقط در نقطه  مشتق­‌پذیر بوده و مشتق آن در این نقطه برابر صفر است.

حل: چون   ، پس    و   .

مشتقات نسبی برابرند با   ،   و   و 

با قرار­دادن مشتقات در شرایط کوشی-ریمان داریم که باید    و    گردند.  پس نقطه   و   و یا به عبارتی دیگر    تنها نقطه­‌ای است که تابع در آن نقطه در شرایط کوشی-ریمان صدق می­‌کند. علاوه بر آن چون مشتقات­‌جزئی در کلیه نقاط پیوسته اند ، پس تابع در این نقطه دارای مشتق است و داریم:

 مثال8)تحقیق‌­کنید تابع در کلیه نقاط دارای مشتق بوده و مشتق آن برابر خود تابع است.

حل: درمثال2دیدیم که برای این تابع  و  است. چون  ، ،     و     نتیجه­‌می­‌گیریم که شرایط کوشی-ریمان در کلیه نقاط برقرار است. همچنین باتوجه به پیوستگی مشتقات جزئی  و نتیجه ­‌می­‌گیریم که در کلیه نقاط مشتق­‌پذیر است و

شرایط کوشی-ریمان در مختصات‌­قطبی

اگر ، آنگاه با محاسبه شرایط کوشی در مختصات قطبی با فرض پیوستگی مشتقات­‌جزئی،  ،   در یک همسایگی نقطه غیر­صفر ، این شرایط به صورت زیر تبدیل­‌می‌­شوند.

 

در این صورت مشتق تابع برابر است با :

 

 مثال9)تحقیق­‌کنید تابع  برای  و  در شرایط کوشی صدق‌­می­کند. مشتق تابع را تعیین‌­کنید.

حل: تابع فوق در فاصله داده‌­شده پیوسته است.  با محاسبه مشتقات­‌جزئی و  داریم:

که در شرایط کوشی برای مختصات قطبی صدق­‌می­‌کنند. چون مشتقات­‌نسبی مرتبه‌­اول در فواصل داده­‌شده پیوسته اند، پس مشتق تابع برابر است با:

4-2 معرفی توابع تحلیلی و روش حل توابع تحلیلی

مفهوم تحلیلی­‌بودن یک تابع به معنیمشتق‌­پذیری در یک حوزه از صفحه مختلط است.

تابع را در  تحلیلی می­‌نامیم اگر همسایگی از موجود باشد که در هر نقطه آن    دارای مشتق گردد. در اینصورت  را یک نقطه عادی تابع می‌­نامیم.

تابعی که در هر نقطه حوزه  تحلیلی باشد، در تحلیلی می­‌نامند. تابعی که در کلِ اعداد­مختلط تحلیلی باشد، تابع‌تام نامیده‌­می­‌شود. نقاط مرزی حوزه‌­ای که تابع   در آن حوزه تحلیلی بوده ولی در خارج آن غیر­تحلیلی است، نقاط تکین یانقاط منفرد نامیده ‌­می‌­شوند. به عبارت­‌ دیگر:

 یک نقطه تکین تابع  است اگر  در تحلیلی نبوده ولی در هر همسایگی از شامل نقاط تحلیلی از تابع گردد.

قضایای مشتق‌­پذیری برای توابع تحلیلی نیز برقرارند، مثلا حاصل­‌جمع ، تفاضل،حاصل‌­ضرب و ترکیب دو تابع تحلیلی ، تحلیلی است. خارج‌­قسمت دو تابع تحلیلی ، تحلیلی است.  خارج‌­قسمت دو تابع تحلیلی به جز در صفر­های مخرج در سایر نقاط تحلیلی است.

 مثال10)تحقیق‌­کنید توابع زیر در چه نقاطی تحلیلی هستند. نقاط تکین آن­ها را بیابید.

الف)               ب)           پ)          ت)

حل: الف) درمثال7 مشاهده­‌کردیم که این تابع در هیچ نقطه­‌ای دارای مشتق نیست. پس این تابع در هیچ  نقطه­‌ای تحلیلی نبوده و بنابراین فاقد نقطه تکین است.

ب) درمثال9 مشاهده­‌کردیم که این تابع در کلیه نقاط جز مبدا مختصات و نیم‌­محور منفی محور حقیقی، یعنی در کلیه نقاط جز نقاطی که برای آن­‌ها   ومشتق­‌پذیر است. پس در این ناحیه تحلیلی نیز هست و نقاط تکین آن همان نقاطی هستند که تابع در آن­ها تحلیلی نیست.

پ) چون ترکیب دو تابع‌ ­تام   و  است، بنابراین تابعی تام است. به همین نحو نیز تابعی تام است. پس حاصل جمع آن­‌ها تابعی تام بوده و فاقد نقطه تکین است.

ت) تابع فوق خارج‌­قسمت دو چند­جمله­‌ای بوده و بنابراین در کلیه نقاط جز ریشه­‌های مخرج یعنی نقاط ،  و  مشتق‌­پذیر است. پس در سایر نقاط تحلیلی بوده و این سه نقطه، نقاط تکین تابع می‌­باشند.

نقطه تکین را یک نقطهتکین تنهامی‌­نامیم اگر همسایگی از نقطه  موجود باشد که در آن همسایگی تنها نقطه تکین تابع نقطه باشد.

در غیر این‌صورت نقطه تکین راغیر­تنهانامند.

نقاط تکین تابع ت) همگی تنها هستند ولی نقاط تکین تابع ب) همگی غیر­تنها می‌­باشند.

توابع تحلیلی دارای خواص بسیار خواص بسیار مهم و مفیدی هستندکه ما به یکی از آن­ها اشاره‌ ­می­‌کنیم:

اگر بخش­‌های حقیقی و موهومی تابع تحلیلی  در حوزه، دارای مشتقات­‌ نسبی مرتبه­‌دوم پیوسته باشند،  این بخش‌­ها در معادلهپتانسیل در آن حوزه صدق­‌می­‌کنند، یعنی :

تابعی که دارای مشتقات مرتبه­‌دوم پیوسته بوده و در معادله پتانسیل صدق کند ، تابعهارمونیک یا همساز  نامیده­‌ می‌­شود.

بخش‌­­های حقیقی و موهومی تابع تحلیلیهمساز هستند. در این­صورت را مزدوج هارمونیک یامزدوجهمساز  می‌­خوانند.

 مثال11)مزدوج همسازرا تعیین کرده و آن‌­را  بنامید. اگر 

و ، را تعیین کرده و سپس را به‌­دست‌­آورید.

حل: با استفاده از شرایط کوشی داریم:

با انتگرال­‌گیری از دو رابطه نتیجه می‌­گیریم:

با مقایسه روابط فوق داریم:          

مزدوج همساز است. از طرفی :

         

         

          

چون ، پس:       

                                                                                                                                                        

و یا، بنابراین  و  . همچنین:

         

به طور کلی می‌­توان نشان­‌داد که هرگاه تابع تحلیلی باشد، آنگاه آن را می‌­توان به صورت زیر نوشت:

کافی است توجه‌­کنیم که اگر  باشد، آنگاه :

حال با جانشینی   به جای   نتیجه بالا به‌­دست‌­می‌­آید. از این خاصیت برای تعیین سریع­‌تر تابع    استفاده ­‌می‌­کنیم، به عنوان مثال در این مثال:

با جانشینی  و نتیجه‌­می‌­گیریم:

که همان نتیجه قبل است.


برای یادگیری بیش‌تر مبحثاعداد مختلط، می‌توانید ویدیوآموزش اعداد مختلط را ببینید.

0 نفر نظر دادن

نظرهای شما

نظر شما دربارۀ این مقاله چیه؟