2)روش حل توابع‌مختلط ، حدود و پیوستگی ، مشتق ، توابع‌تحلیلی
2-1 معرفی توابع‌مختلط و روش حل توابع‌مختلط
در این آموزش کپسولی لینوم، به سراغ یادگیری توابع مختلط، حدود و پیوستگی،مشتق و توابع تحلیلی می‌رویم.
برای شروع بهتر است که توابع‌مختلط را در قیاس با توابع‌حقیقی متناظر آن مقایسه کنیم :
بنابراین در توابع‌مختلط چیزی به نام رسم تابع نداشته و صرفا به نگاشت یک ناحیه به ناحیه دیگر بسنده می‌کنیم.
به طور کلی صفحه 
را صفحهدامنه و صفحه
را صفحهبرد تابع
می‌نامند.
اگر 
یک تابعمختلط باشد، آنگاه بخش‌های حقیقی و موهومی آن را به ترتیب با 
و 
نمایش‌می‌دهیم.
تعیین بخش‌های حقیقی و موهومی توابع‌مختلط برای بررسی رفتارهای آن ها ضروری است و برای تعیین آنها از شکل‌های دکارتی یا قطبی 
استفاده میشود.
مثال1) بخش‌های حقیقی و موهومی تابع 
را به‌دست‌آورید.
حل : با استفاده از شکل دکارتی 
داریم :
بنابراین
و 
همچنین شکل قطبی
نتیجه می‌دهد:
پس 
و 
می‌باشند که همان 
و 
مختصات دکارتی است.
مثال2) بخش‌های حقیقی و موهومی تابع
را به‌دست‌آورید.
حل : با استفاده از شکل دکارتی داریم:
بنابراین
و 
در اینجا شکل قطبی
برای تعیین
و
مناسب نیست.
تعیین صفرهای تابع
را صفر تابع 
نامیم اگر باشد. برای تعیین صفرهای یک تابع کافی است بخش‌های حقیقی و موهومی آن را تواما برابر صفر قراردهیم.
مثال3)معادله 
را حل‌کنید. (یعنی صفرهای تابع 
را بیابید.)
حل: با توجه به مثال2 نتیجه می‌گیریم که :
از رابطه (2) نتیجه می‌گیریم 
، پس از رابطه (1) نتیجه می‌گیریم
.حالت 
معادله ممتنع
را نتیجه می‌دهد، پس
بنابراین 
و 
و جواب‌های معادله برای کلیه 
های صحیح به صورت زیر است :
2-2 معرفی حدود و پیوستگی تابعمختلط و روش حل حدود و پیوستگی تابعمختلط
تعاریفحدود و پیوستگی توابع‌مختلط مشابه توابع‌حقیقی است. با توجه به اینکه
لذا اگر دو تابع دو متفییره
و 
در نقطه‌ای حد داشته‌باشند، تابع
نیز در آن نقطه دارای حد است . ( و به همین ترتیب در مورد پیوستگی)
قضایای اساسی زیر در محاسبه حدود و تشخیص پیوستگی توابع‌مختلط مفیدند.
قضیه1-شرط لازم و کافی برای وجود حد تابع 
در
آن است که توابع‌حقیقی دو متغیره
و 
در 
دارای حد باشند.
قضیه2-شرط لازم و کافی برای پیوستگی تابع
در
آن است که توابع‌حقیقی دو متغییره
و
در 
پیوسته باشند.
با توجه به قضایای فوق، چون بخش‌های حقیقی و موهومی توابع چندجمله‌ای در همه نقاط پیوسته اند، نتیجه می‌گیریم که توابع چندجمله‌ای در همه نقاط پیوسته هستند. همچنین خارج‌قسمت دو چندجمله‌ای ، تابع گویا، در همه نقاط به جز در ریشه‌های مخرج آن پیوسته است.
مثال4)تحقیق‌کنید تابع 
در چه نقاطی پیوسته است؟
حل: تابع چندجمله‌ای 
در کلیه نقاط پیوسته است. همچنین چون:
در کلیه نقاط پیوسته اند، پس تابع مخرج، در کلیه نقاط پیوسته است. بنابراین تابع در کلیه نقاط جز صفرهای مخرج یعنی نقاط برای کلیه های صحیح (مثال3) پیوسته است.
3-2 معرفی مشتق تابعمختلط و روش حل مشتق تابعمختلط و تابع‌تحلیلی
در ادامه اینآموزش کپسولی لینوم، مشتق توابع‌مختلط را مشابه توابع‌حقیقی تعریف می‌کنیم ، یعنی:
برای مشتق‌پذیری، تابع باید تک مقداری باشد یا تک مقداری بشود. اینکار با محدودکردن
به یک دور مثلثاتی انجام‌پذیر است که معادل انتخاب 
می‌باشد. اینکار مشابه انتخاب
برای تابع نمودن
می‌باشد که در این صورت با 
نمایش‌داده میشود.
مثال5)مشتق‌پذیری تابع
را بررسی‌کنید.
حل: در نقطه دلخواه
داریم:
حد فوق روی مسیر
برابر مقدار 1 و روی مسیر برابر مقدار 1- است. پس حد فوق در هیچ نقطه‌ای موجود نبوده و بنابراین
در هیچ نقطه‌ای دارای مشتق نیست.
قضیه اول کوشی-ریمان (شرط لازم مشتق‌پذیری)
اگر تابع
در نقطه
مشتق‌پذیر باشد، در این صورت حتما حد آن از دو مسیر (1) و (2) یکسان است. حال بررسی می‌کنیم برای یک تابع دلخواه
، در چه صورت حد از این دو مسیر برابر خواهدشد.
مثال6)مشتق‌پذیری تابع 
را بررسی‌کنید.
حل :
قضیه دوم کوشی-ریمان (شرط کافی مشتق‌پذیری)
اثبات دقیق این قضیه با استفاده از قضیه مقدار میانگین در توابع دو متغییره می‌باشد که طولانی بوده و از آن صرف نظر میشود. به جای آن یک اثبات شهودی برای این قضیه به صورت زیر ارائه میشود.
مشتق زنجیری زمانی اعتبار دارد که 6تابع 
, 
پیوسته باشند. حال اگر شرایط لازم کوشی-ریمان هم برقرار باشد، هر دو پرانتز بالا با هم مساوی اند. اگر هر دو را
بنامیم:
یعنی
همان مشتق تابع
می‌باشد. پس اگر 6 تابع گفته‌شده پیوسته و شرایط لازم کوشی-ریمان هم برقرار باشد ، تابع دارای مشتق بوده و به یکی از چهار فرم زیر قابل محاسبه است:
مثال7)تحقیق‌کنید تابع 
فقط در نقطه 
مشتق‌پذیر بوده و مشتق آن در این نقطه برابر صفر است.
حل: چون 
، پس 
و 
.
مشتقات نسبی برابرند با 
، 
و 
و
با قراردادن مشتقات در شرایط کوشی-ریمان داریم که باید و گردند. پس نقطه و و یا به عبارتی دیگر تنها نقطه‌ای است که تابع در آن نقطه در شرایط کوشی-ریمان صدق می‌کند. علاوه بر آن چون مشتقات‌جزئی در کلیه نقاط پیوسته اند ، پس تابع در این نقطه دارای مشتق است و داریم:
مثال8)تحقیق‌کنید تابع
در کلیه نقاط دارای مشتق بوده و مشتق آن برابر خود تابع است.
حل: درمثال2دیدیم که برای این تابع 
و 
است. چون
، 
، 
و 
نتیجه‌می‌گیریم که شرایط کوشی-ریمان در کلیه نقاط برقرار است. همچنین باتوجه به پیوستگی مشتقات جزئی
و
نتیجه می‌گیریم که
در کلیه نقاط مشتق‌پذیر است و
شرایط کوشی-ریمان در مختصات‌قطبی
اگر
، آنگاه با محاسبه شرایط کوشی در مختصات قطبی با فرض پیوستگی مشتقات‌جزئی
، 
، 
در یک همسایگی نقطه غیرصفر
، این شرایط به صورت زیر تبدیل‌می‌شوند.
در این صورت مشتق تابع برابر است با :
مثال9)تحقیق‌کنید تابع
برای
و 
در شرایط کوشی صدق‌میکند. مشتق تابع را تعیین‌کنید.
حل: تابع فوق در فاصله داده‌شده پیوسته است. با محاسبه مشتقات‌جزئی
و
داریم:
که در شرایط کوشی برای مختصات قطبی صدق‌می‌کنند. چون مشتقات‌نسبی مرتبه‌اول در فواصل داده‌شده پیوسته اند، پس مشتق تابع برابر است با:
4-2 معرفی توابع تحلیلی و روش حل توابع تحلیلی
مفهوم تحلیلی‌بودن یک تابع به معنیمشتق‌پذیری در یک حوزه از صفحه مختلط است.
تابع
را در
تحلیلی می‌نامیم اگر همسایگی از
موجود باشد که در هر نقطه آن 
دارای مشتق گردد. در اینصورت 
را یک نقطه عادی تابع می‌نامیم.
تابعی که در هر نقطه حوزه 
تحلیلی باشد، در
تحلیلی می‌نامند. تابعی که در کلِ اعدادمختلط تحلیلی باشد، تابع‌تام نامیده‌می‌شود. نقاط مرزی حوزه‌ای که تابع در آن حوزه تحلیلی بوده ولی در خارج آن غیرتحلیلی است، نقاط تکین یانقاط منفرد نامیده می‌شوند. به عبارت دیگر:
یک نقطه تکین تابع 
است اگر 
در
تحلیلی نبوده ولی در هر همسایگی از
شامل نقاط تحلیلی از تابع گردد.
قضایای مشتق‌پذیری برای توابع تحلیلی نیز برقرارند، مثلا حاصل‌جمع ، تفاضل،حاصل‌ضرب و ترکیب دو تابع تحلیلی ، تحلیلی است. خارج‌قسمت دو تابع تحلیلی ، تحلیلی است. خارج‌قسمت دو تابع تحلیلی به جز در صفرهای مخرج در سایر نقاط تحلیلی است.
مثال10)تحقیق‌کنید توابع زیر در چه نقاطی تحلیلی هستند. نقاط تکین آنها را بیابید.
الف)
ب) 
پ)
ت)
حل: الف) درمثال7 مشاهده‌کردیم که این تابع در هیچ نقطه‌ای دارای مشتق نیست. پس این تابع در هیچ نقطه‌ای تحلیلی نبوده و بنابراین فاقد نقطه تکین است.
ب) درمثال9 مشاهده‌کردیم که این تابع در کلیه نقاط جز مبدا مختصات و نیم‌محور منفی محور حقیقی، یعنی در کلیه نقاط جز نقاطی که برای آنها 
و
مشتق‌پذیر است. پس در این ناحیه تحلیلی نیز هست و نقاط تکین آن همان نقاطی هستند که تابع در آنها تحلیلی نیست.
پ) چون
ترکیب دو تابع تام و است، بنابراین تابعی تام است. به همین نحو نیز تابعی تام است. پس حاصل جمع آنها تابعی تام بوده و فاقد نقطه تکین است.
ت) تابع فوق خارج‌قسمت دو چندجمله‌ای بوده و بنابراین در کلیه نقاط جز ریشه‌های مخرج یعنی نقاط
،
و 
مشتق‌پذیر است. پس در سایر نقاط تحلیلی بوده و این سه نقطه، نقاط تکین تابع می‌باشند.
نقطه تکین
را یک نقطهتکین تنهامینامیم اگر همسایگی از نقطه 
موجود باشد که در آن همسایگی تنها نقطه تکین تابع نقطه
باشد.
در غیر اینصورت نقطه تکین راغیرتنهانامند.
نقاط تکین تابع ت) همگی تنها هستند ولی نقاط تکین تابع ب) همگی غیرتنها می‌باشند.
توابع تحلیلی دارای خواص بسیار خواص بسیار مهم و مفیدی هستندکه ما به یکی از آنها اشاره می‌کنیم:
اگر بخش‌های حقیقی و موهومی تابع تحلیلی 
در حوزه
، دارای مشتقات نسبی مرتبهدوم پیوسته باشند، این بخشها در معادلهپتانسیل
در آن حوزه صدق‌می‌کنند، یعنی :
تابعی که دارای مشتقات مرتبهدوم پیوسته بوده و در معادله پتانسیل صدق کند ، تابعهارمونیک یا همساز نامیده میشود.
بخش‌های حقیقی و موهومی تابع تحلیلی
همساز هستند. در اینصورت 
را مزدوج هارمونیک یامزدوجهمساز 
میخوانند.
مثال11)مزدوج همساز
را تعیین کرده و آنرا
بنامید. اگر 
و
،
را تعیین کرده و سپس
را به‌دست‌آورید.
حل: با استفاده از شرایط کوشی داریم:
با انتگرالگیری از دو رابطه نتیجه می‌گیریم:
با مقایسه روابط فوق داریم:
مزدوج همساز
است. از طرفی :
چون 
، پس:
و یا
، بنابراین
و 
. همچنین:
به طور کلی میتوان نشانداد که هرگاه تابع
تحلیلی باشد، آنگاه آن را میتوان به صورت زیر نوشت:
کافی است توجهکنیم که اگر 
باشد، آنگاه :
حال با جانشینی به جای نتیجه بالا بهدستمیآید. از این خاصیت برای تعیین سریعتر تابع استفاده می‌کنیم، به عنوان مثال در این مثال:
با جانشینی
و
نتیجه‌می‌گیریم:
که همان نتیجه قبل است.
برای یادگیری بیش‌تر مبحثاعداد مختلط، می‌توانید ویدیوآموزش اعداد مختلط را ببینید.