Name: جواب یک معادله حول یک نقطه منفرد منظم (بخش اول)
Uploaded: 2021-01-05T10:41:13.000000Z
Duration: 19 min 2 s
Description: در این ویدئو، به توضیح فرمول فروبنیوس، تحلیل حالات ریشههای معادله اون و جواب عمومی هر یک از اونها پرداختیم.

معادلات دیفرانسیل

مفاهیم اولیه در معادلات 

در این ویدئو با الفبای اولیه معادلات دیفرانسیل، صورت کلی اون و کاربرد‌هاش در موضوعاتی مثل قانون دوم نیوتون، آهنگ کاهش یک ماده رادیواکتیو، درجه یک معادله دیفرانسیل و مرتبه اون‌ها به همراه معادلات دیفرانسیل، جواب یک معادله دیفرانسیل و مسیر‌های قائم یک دسته منحنی آشنا میشید. در ادامه بحث، به حل مثال در مورد این مطالب مثل مرتبه، درجه و به دست آوردن مسیر‌های قائم یک منحنی و بقیه مباحث پرداختیم.

مفاهیم اولیه در معادلات

معادلات مرتبه اول

در این ویدیو با مباحثی مثل فرم کلی معادلات درجه اول و معادلات جدا‌شدنی آشنا میشید؛ آخر هم با حل مثال‌های مختلف بر این مبحث مسلط میشید

معادلات جداشدنی

در این بخش با مباحثی مثل توابع همگن و معادلات دیفرانسیل همگن به همراه حل تیپ سوالات مختلف رو به رو هستید.

معادلات همگن (بخش اول)

در این ویدئو با روش‌های تبدیل برخی معادلات خاص به معادلات همگن، آشنا میشید. در ادامه با تحلیل دو مثال و به کارگیری روش‌های تبدیل معادلات خاص به معادلات همگن، به این بحث پایان میدیم.

معادلات همگن (بخش دوم)

در این بخش با مفاهیم دیفرانسیل کامل یک تابع، معادله کامل، فرمول‌ها، عبارات اون‌ها آشنا میشید و در ادامه بحث به حل چند مثال جهت آشنایی بیشتر پرداختیم.

معادلات دیفرانسیل کامل و فاکتورهای انتگرال گیری (بخش اول)

در این بخش، اول با حالت خاص برای انتگرال‌گیری رو به رو هستید. در ادامه اون، به توضیح اثبات این عبارت می‌پردازیم. در پایان هم به تحلیل مثال‌هایی درباره معادلات دیفرانسیل و مسیرهای قائم بر دسته منحنی پرداختیم.


معادلات دیفرانسیل کامل و فاکتورهای انتگرال گیری (بخش دوم)

در این ویدئو، اول با مفهوم و فرم کلی معادلات مرتبه اول خطی آشنا میشید و در آخر هم با حل مثال و به کارگیری فرم کلی معادله، این بحث به پایان می‌رسه.

معادلات خطی مرتبه اول

در این بخش، با فرم کلی معادلات برنولی و فرم معادله خطی اون آشنا میشید. در ادامه، به توضیح روش‌های تبدیل یک معادله به معادله برنولی و مفهوم و فرم کلی معادله ریکاتی که یکی از معادلات دیفرانسیلی مرتبه اول هست، می‌پردازیم. در آخر هم، برای تسلط بیشتر شما بر این مباحث، مثال‌های متنوعی رو حل کردیم.

معادله برنولی و معادله رادیکالی

در این ویدیو، به توضیح و تحلیل مباحثی مثل پوش یک دسته منحنی و نقاط استثنایی یک دسته منحنی، حل معادلات مرتبه اول فاقد  xوy به همراه فرم کلی معادله کلرو و قضیه و شرایط وجود و یکتایی جواب یک معادله مرتبه اول پرداختیم.

معادلات مرتبه اول خاص و یکتایی

معادلات مرتبه دوم و بالاتر

در این بخش، به فرم کلی معادلات مرتبه دوم خطی و قضیه و شرط وجود جواب برای معادلات مرتبه دوم خطی پرداختیم؛ علاوه بر این، به ضرایب ثابت معادلات درجه دوم و حالات عمومی معادله با توجه به نوع ریشه‌های اون، اشاره کردیم.

معادلات خطی مرتبه دوم همگن با ضرایب ثابت

در این ویدیو، به مفاهیم و تعاریف توابع مستقل و وابسته خطی و اینکه در چه صورتی می‌توان یک تابع را به طرز ترکیب وابسته خطی نوشت، اشاره کردیم. در ادامه، مفهوم و شکل کلی رونسکین که یک دترمینانnدرn هست را بیان کردیم. در بخشی دیگر از ویدیو، رابطه رونسکین تعدادی از توابع رو با استقلال خطی هر کدام از اون‌ها، معادلات خطی غیرهمگن، معادلات خطی مرتبه دوم غیرهمگن و روش به دست آوردن جواب‌های خصوصی هر کدام از اون‌ها رو بررسی کردیم.

رونسکین توابع و استقلال خطی

در این بخش، اول با روشی کلی به نام روش ضرایب نامعین آشنا میشید و وقتی از اون استفاده می‌کنیم که ضرایب معادله همگن ما، ثابت هست. آخر ویدیو هم، درباره روش ضرایب نامعین صحبت می‌کنیم.

روش ضرایب نامعین (بخش اول)

در این ویدیو، مثال‌هایی رو می‌بینیم که با استفاده از مفاهیم ویدیوی قبلی، باید ضرایب معادلات داده شده رو به دست بیارید.

روش ضرایب نامعین (بخش دوم)

در این بخش، به توضیح روش تغییر پارامترها که راهی برای پیدا کردن جواب خصوصی معادلات پرداختیم. 

روش تغییر پارامترها

در این ویدیو، با حالت خاص دیگه‌ای از معادلات خطی که با در نظر گرفتن معادله خطی مرتبه دوم گفته میشه، آشنا میشید. در ادامه، به بیان فرم  کلی تساوی و روش حل اون و تبدیل معادلات کشی به معادلات مرتبه دوم و معادلات همگن نظیر اون‌ها، اشاره کردیم.

معادله کشی یا اویلر

تبدیل لاپلاس

در این بخش، با تبدیل لاپلاس یک تابع و فرم کلی اون آشنا میشید. در ادامه به توضیح خواص اولیه تبدیل لاپلاس و تبدیل وارون لاپلاس خطی که هر دوی اون‌ها خطی هستن، پرداختیم و در آخر هم این ویدیو با تحلیل مثال در مورد معادله لاپلاس و به کارگیری اون تموم میشه.

تعریف تبدیل لاپلاس

در این ویدیو، با تبدیل لاپلاس برخی توابع مشهور، فرمول‌های تبدیل آن‌ها و تبدیل وارون لاپلاس آشنا میشید. در ادامه به حل چندین نمونه مثال از این مبحث کاربردی پرداختیم.

تبدیل لاپلاس توابع مشهور

در این بخش، به کمک چند فرمول به بیان و تحلیل خواص چندین تبدیل لاپلاس که یکی از مباحث کاربردی در حل معادلات دیفرانسیل هست پرداختیم.

حل معادلات دیفرانسیل با تبدیل لاپلاس

در این ویدیو، با توابع پله‌ای و روش ترسیم این توابع که مورد استفاده در به دست آوردن تبدیل لاپلاس توابع چند ضابطه‌ای، قرار می‌گیرن، آشنا میشید. در ادامه به حل مثال‌هایی درباره توابع پله‌ای توابع چند ضابطه می‌پردازیم. در آخر هم، این بخش با رابطه  تبدیل لاپلاس و تابع پله به پایان می‌رسه.

توابع پله‌ای

در این بخش به بررسی فرمول‌های خواص بیشتری از تبدیلات لاپلاس می‌پردازیم.

خواص تبدیل لاپلاس

در این ویدئو با مبحث پیچش دو تابع رو به رو هستید. این مطلب زمانی در معادلات دیفرانسیل کاربرد داره که تبدیل لاپلاس دو تابع رو دارید و باید تبدیل وارون ضرب شده اون دو تا رو به دست بیارید.

پیچش دو تابع و معادلات انتگرالی

در این بخش، با مفهوم و فرمول کلی ریاضیاتی تابع ضربه یا تابع دلتای دیراک آشنا میشید. بعد از اون، با حل دو مثال به کمک مفاهیم قبلی، به تکمیل آموزش موضوع پرداختیم.

تابع دلتای دیراک

دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی

در این ویدئو، با یکی از روش‌های کلی حل دستگاه‌های معادلات دیفرانسیل که روش حذفی هست، آشنا میشید. این مبحث با تحلیل یک مثال، بیان میشه.

روش حذفی

در این بخش، با روش دیگری از روش‌های کلی حل معادلات دیفرانسیل آشنا میشید؛ به نام روش اپراتور. در ادامه هم، اپراتور معکوس، فرم کلی ماتریسی و فرمول کلی اون رو یاد می‌گیرید. در آخر هم، به بیان یک نمونه مثال از روش اپراتور پرداختیم.

روش اپراتور

در این ویدئو، با مقادیر ویژه یک ماتریس از طریق فرمول ضرب مقدار ماتریس در بردار ویژه نظیر لاندا، فرم کلی مقادیر ویژه یک ماتریس و نمای کلی دیگه ماتریسی معادلات دیفرانسیل مرتبه اول که دارای ضرایب ثابت و ناهمگن هست، آشنا میشید. 

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه یک ماتریس

روش مقادیر ویژه

در این ویدیو، با روش تبدیل لاپلاس که روشی ساده، برای حل معادلات دیفرانسیل هست، آشنا میشید. در این روش از طرفین معادله‌ها تبدیل لاپلاس می‌گیریم.

روش تبدیل لاپلاس

حل معادلات به کمک سری‌ها

در این بخش، با مبحث سری‌ها از طریق فرم کلی نوشتاری اون به زبان ریاضی، آشنا میشید. در ادامه به مفاهیم سری همگرای مطلق، مشروط، سری توانی، شعاع و بازه همگرایی اون و مشق‌گیری و انتگرال‌گیری از سری‌های توانی اشاره کردیم.

سری‌ها و برخی خواص آن‌ها

در این ویدئو، به مباحثی مثل مفاهیم نقاط معمولی، منفرد و روش حل معادلات با استفاده از سری‌ها پرداختیم.

جواب یک معادله حول یک نقطه معمولی

در این بخش، مفاهیم مشتقات تابع، ضرایب یک سری و بسط های تیلور و مک‌لورن و برخی از سری‌های مهم مک‌لورن را توضیح دادیم. 

جملات اول سری جواب یک معادله

در این ویدیو، با فرم کلی معادله لژاندر، روش و الگوریتم حل این معادله، جواب عمومی اون، رابطه رودریگز، توابع چند جمله‌ای لژاندر از درجه پایین، رابطه بازگشتی اون و همچنین تعامد این چند جمله‌ای آشنا میشید.

معادله لژاندر

در این بخش، به تقسیم‌بندی نقاط منفرد به دو دسته منظم و نامنظم پرداختیم که در ادامه، به تفاوت‌های بین این دو دسته و مفهوم فرم کلی هریک از اون‌ها اشاره کردیم.

نقاط منفرد منظم و نامنظم یک معادله

در این ویدئو، به توضیح فرمول فروبنیوس، تحلیل حالات ریشه‌های معادله اون و جواب عمومی هر یک از اون‌ها پرداختیم.