فنی و مهندسی

معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی در ریاضی مهندسی

تاریخ انتشار: 1 سال پیش
زمان مطالعه: 10 دقیقه
2 نفر دوست داشتن!
0 نفر نظر دادن
معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی در ریاضی مهندسی

8) حل معادلات دیفرانسیل بامشتقات جزئی مرتبه دوم

در اینآموزش کپسولی لینوم، به سراغ معادلات دیفرانسیل مشتق جزئی می‌رویم.

در درسمعادلا‌‌ت‌­دیفرانسیل با حل مسائل متنوعی از معادلات­‌دیفرانسیل آشنا ­شدیم. همانطورکه می­‌دانید یک معادله دیفرانسیل عبارت است از :   با تابعی از که یک معادله را تشکیل­ می­‌دهد. منظور از حل یک معادله دیفرانسیل یافتن تابع  است. مثلا یک معادله دیفرانسیل به صورت زیر است:

یادآوری1-یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول به صورت زیر است:

همانطور که می‌­دانید جواب معادله فوق به صورت زیر قابل ­محاسبه است:

یادآوری2-یکمعادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت همگن به صورت زیر است:

     

 مثال1 )جواب­ معادلات زیر را بیابید.

حل:                                             

               

 

حل:

 

 

1-8 تعریف معادله دیفرانسیل مرتبه­ دوم با مشتقات جزئی

در یک معادله دیفرانسیل تابع تابعی فقط از یک متغییر   است.

در بحثمعادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی یک تابع تابعی از چندین متغییر است:

در این فصل معادلاتی را بررسی­ می­‌کنیم که در آن­‌ها تابع شامل 2 متغییر است.

نمونه­‌های زیادی از این معادلات در کاربرد­های مهندسی وجود دارد، مثل:  معادله یک نخ مرتعش که بهمعادله موجمعروف است یا مسئله گرم­ شدن که بهمعادله گرما معروف است یا حل معادله پتانسیل الکتریکی در یک فضای دوبعدی که بهمعادله لاپلاسمعروف است.

تعریف یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی

یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی در حالت کلی به صورت زیر تعریف­ می­‌شود:

موارد زیر نمونه‌­هایی از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی هستند:

تعریف مرتبه یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی

به بالا­ترین درجه مشتق­‌گیری در یک معادله با مشتقات جزئی مرتبه ­آن معادله گوییم.

تعریف معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی خطی

معادله دیفرانسیلی با مشتقات جزئی را خطی نامیم اگر این معادله نسبت به و همه مشتقات آن خطی باشد.

نکته-هر عملی جز ضرب­ کردن، معادله را ­غیر­خطی می­‌کند.

یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئیخطی مرتبه دومبا دو متغییر مستقل دارای شکل زیر است:

که در آن ضرایب   توابعی از و  می­‌باشند. اگر معادله به شکل بالا نباشد، آن راغیر­خطیمی­‌نامیم.

یکمعادله خطی راهمگننامیم اگر  باشد، در غیر این‌صورت آن را ناهمگننامیم.

2-8 انواع معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دوم

می­‌توان این معادلات را بر حسب مقدار به 3 دسته زیر تقسیم­‌بندی کرد:

1)معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دومهذلولی­‌گون:                                         

       

2)معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دومسهمی‌­گون:       

                                                                     

3)معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دومبیضی­‌گون:                                        

از مهم‌­ترین معادلات با مشتقات ­جزئی می­توان به معادلات زیر اشاره­ کرد:

معادله انتقال گرما (سهموی)                 

                                                      

معادله انتشار موج (هذلولوی)                      

                                             

معادله پتانسیل  (بیضوی)             

                                                             

           

3-8 روش‌­های حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دوم

هدف از حل معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی محاسبه تابعاست که در این معادله صدق­ کند.

چهار روش مهم برای حل این معادلات عبارتند از :

الف) روش فاکتور­گیری : این روش هنگامی امکان­‌پذیر است که بتوان در معادله از یکی از عبارات   یا   فاکتور­گیری نمود.

ب) روش تغییر­متغییر: معادله کلی را در نظر­می­‌گیریم. برای حل این مسئله به کمک روش تغییر­متغییر معادله مشخصه زیر را تشکیل می‌­دهیم.

معادله مشخصه بر حسب  سه حالت زیر را خواهد­داشت.

الف)  : تغییر­متغییر به و

ب)  : تغییر­متغییر به و 

ج) : نمی‌­توان در این حالت از روش تغییر­متغییر معادله را حل­ نمود. در صورتی که بتوانرا تشکیل­ دهیم می‌­توان از روش تغییر­متغییر معادله را حل­ نمود.

ج) روش ضربی (جداسازی متغییر­ها):این روش یکی از روش­‌های مهم برای حل معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی می­‌باشد. سه معادله مهم موج، گرما و لاپلاس از این روش قابل حل هستند. در این روش تابع که شامل دو متغییر مستقل است ( مثلا  یا ) به عنوان تابعی از حاصل­‌ضرب توابعی از متغییر­های مستقل تعریف­ نمود. یعنی:

**شرط استفاده از روش ضربی: حال تابع     را در معادله جایگذاری­ می­‌کنیم. اگر بتوان تمام توابع وابسته به    را به یک طرف تساوی و تمام توابع را به طرف دیگر تساوی انتقال ­داد آن وقت این معادله از روش ضربی قابل حل خواهد­بود.

د) روش دالامبر: این روش فقط برای حل معادله موج به صورت  به‌­کار­می‌­رود.

 مثال2 )معادلهرا حل­ کنید.

حل:با توجه به چهار روش ذکر­شده می­‌توان از روش فاکتور­گیری استفاده­ نمود. در نتیجه داریم:

 مثال3 )معادله را حل­ کنید.

حل:با توجه به چهار روش ذکر­شده می‌­توان از روش فاکتور­گیری استفاده ­نمود. در نتیجه داریم:

 مثال4 )معادلهرا حل­ کنیدو جواب عمومی آن را به‌­دست‌­آورید.

حل:با توجه به روش­‌های ذکر­شده می‌­بایست از روش تغییر­متغییر استفاده ­نمود:

حال می‌­بایست معادله اصلی را که متغییر­های آن و هستند به معادله‌­ای تبدیل­ کنیم که متغییر­های آن   و  اند. برای این امر باید عبارات زیر را محاسبه­ کنیم:

حال عبارت دارای  و را در معادله اصلی قرار­می‌­دهیم:

حال این معادله به روش فاکتور­گیری قابل ­حل است:

4-8  حل معادله موج

اگر نخ قابل ارتعاشی از یک طرف به مانع محکمی یا از دو طرف به این مانع متصل­ شود و این نخ با استفاده از نیروی اولیه‌­ای شروع به ارتعاش نماید، معادله‌­ای برای این نخ مرتعش حاکم است که بهمعادله موجمعروف است.

اگر در هر نقطه در فاصله صفر تا به این نخ نگاه­ کنیم در هرلحظه از زمان این نخ ارتفاع خاصی خواهد­داشت اثبات ­شده‌­استکه معادله دیفرانسیل متناظر با این حرکت ارتعاشی به صورت زیر است:

هدف، حل این معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی است. یعنی محاسبه . با توجه به صورت مسئله داریم:

شرایط اولیه:    الف)          ب)

شرایط مرزی:   الف)                 ب) 

وقتی این معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی،حل­ شود جواب آن به صورت زیر است:

 

 و در حالت خاص اگر در لحظه اولیه سرعت طناب صفر باشد   و  خواهیم داشت:

  مثال5 )با استفاده از جواب معادله موج معادلات حرکت طنابی مرتعش را به‌­دست‌­آورید که سرعت اولیه آن صفر است و شکل آن در لحظه ارتعاش به صوت زیر است و سرعت موج یک است.

حل:طبق صورت سوال داریم: 

با توجه به اینکه سرعت اولیه صفر می­باشد فقط کافی است ضریب محاسبه­ شود.

5-8 حل معادله گرما ( انتقال حرارت)

فرض­ کنیم میله‌­ای با طول محدود از یک طرف حرارت­ داده‌­شود. می­خواهیم مقدار حرارت را در هر نقطه و در هر زمان به‌دست‌آوریم. در فیزیک حرارت معادله دیفرانسیل متناظر با این مسئله به صورت زیر به‌دست‌می‌آید.

 هدف، حل این معادله است. یعنی محاسبه. با توجه به صورت مسئله داریم:

شرایط اولیه:    الف) 

شرایط مرزی:   الف)        ب) 

وقتی این معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی، حل­ شود جواب آن به صورت زیر است:

 مثال6 )جواب معادله گرما به صورت   و  با پارامتر را به­‌دست‌­آورید.

6-8 حلمعادله لاپلاس

معادله دیفرانسیل متناظر با این مسئله به صورت زیر به‌­دست­‌می­‌آید:

 در فضای دو­بعدی به صورت خاص  قابل ­بیان است. کاربرد این معادله در محاسبه اختلاف پتانسیل به وجود­آمده در سطوح رسانا می­‌باشد. این معادله با استفاده از روش ضربی قابل­ حل است: 

دریافتیم که این معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی، با روش ضربی قابل­ حل است:

 

الف) 

  

ب)

  

 

ج)

  

همان­ طور که می‌­بینید این معادله نیز دارایهس جواب است که جواب خصوصی معادله با استفاده از اعمال شرایط اولیه و مرزی محاسبه ­خواهد­شد.

7-8 روش دالامبر

این روش فقط برای حل معادله موج به صورت:

به کار ­می‌­رود که در این معادله شرایط اولیه و مرزی به صورت زیر هستند:

شرایط اولیه:    الف)       ب) 

شرایط مرزی:   الف)               ب) 

وقتی معادلات مربوطه حل ­شود، در نهایت جواب دالامبر معادله موج عبارت است از:

 مثال 7)فرض ­کنید نخ در لحظه صفر دارای سرعت اولیه صفر است و شکل طناب در لحظه اول به صورت زیر است، اگر پارامتر سرعت موج 1 باشد، معادله حرکت نخ را به روش دالامبر در هر لحظه از زمان بیابید.

 

ابتدابایستی مقدار      را محاسبه­ کنیمکه از محاسبه شیب خط داریم:  . در این مسئله سرعت اولیه صفر است یا به عبارتی

از طرفی می‌­دانیم کهرا می­‌توان یک تابع متناوب فرد با دوره تناوب در نظر­گرفت و سری فوریه آن به شرح زیر است:


برای تسلط بیشتر بر این مباحث، می‌توانید کپسول آموزشی معادلات دیفرانسیل لینوم را هم مشاهده کنید.

0 نفر نظر دادن

نظرهای شما

نظر شما دربارۀ این مقاله چیه؟